Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

3 – Calcule:

l) ∫ 2 x 2 x + 3 d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, estamos interessados em calcular a integral da função f x = 2 x 2 x + 3 .

Tem alguma ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, temos que aplicar alguma técnica para nos ajudar a calcular essa integral. A função f é do tipo exponencial então não podemos usar o método de integração polinomial.

Nesse caso, podemos usar o método de substituição, pois se substituirmos 2 x + 3 por u , aplicando o método da derivada exponencial, podemos substituir o numerador por uma constante.

Veja só! 😁

Passo 2

Substituindo 2 x + 3 por u , temos que

d u d x = d 2 x + 3 d x

Pela regra do expoente da derivada

d c x d x = c x ln ⁡ c

Onde c é uma constante

d u d x = 2 x ln ⁡ 2

Isolando d x ...

d x = 1 2 x ln ⁡ 2 d u

Substituindo u e d x na integral, temos

∫ 2 x 2 x + 3 d x → ∫ 2 x u 1 2 x ln ⁡ 2 d u

∫ 1 u ln ⁡ 2 d u

Tirando a constante da integral...

1 ln ⁡ 2 ∫ 1 u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que a integral de 1 / u é igual a ln ⁡ u , ou seja

1 ln ⁡ 2 ∫ 1 u d u = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ u

Não podemos deixar o resultado em função de u , então voltamos u para 2 x + 3

∫ 2 x 2 x + 3 d x = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 x + 3 + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 2 x 2 x + 3 d x = 1 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 x + 3 + C

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