Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

3 – Calcule:

n) ∫ a r c t g x 1 + x 2 d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Aqui, queremos calcular a integral de f x = a r c t g x 1 + x 2 .

Parece que vai dar um pouco de trabalho, não é? 👀

Nesse problema, podemos usar o método da substituição para resolver o problema, que tal?

O método da substituição consiste em substituir parte da função de integração por uma variável e ao fazer a adaptação da integral, podemos simplificar nossos cálculos.

Bora ver como é! 😉

Passo 2

Se chamarmos u de a r c t g x , então

d u d x = d a r c t g x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

d u d x = 1 1 + x 2

Isolando d x ...

d x = 1 + x 2 d u

Substituindo d x e a r c t g x na integral, temos

∫ a r c t g x 1 + x 2 d x → ∫ u 1 + x 2 1 + x 2 d u

Simplificando a função

∫ u d u

Assim, pelo método de integração polinomial, temos que

∫ u d u = u 1 + 1 1 + 1

∫ u d u = u 2 2

Voltando u para o domínio de x

∫ a r c t g x 1 + x 2 d x = a r c t g 2 x 2 + C

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! ����

Resposta

∫ a r c t g x 1 + x 2 d x = a r c t g 2 x 2 + C

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