Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

3 – Calcule.

o) ∫ s e n ln ⁡ x x d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Aqui, queremos calcular a integral de f x = s e n ln ⁡ x x .

Parece que vai dar um pouco de trabalho, não é? 👀

Nesse problema, podemos usar o método da substituição para resolver o problema, que tal?

O método da substituição consiste em substituir parte da função de integração por uma variável e ao fazer a adaptação da integral, podemos simplificar nossos cálculos.

Bora ver como é! 😉

Passo 2

Se chamarmos ln ⁡ x de u , podemos fazer que

d u d x = d ln ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo a derivada de ln ⁡ x é

d u d x = 1 x

Isolando d x ...

d x = x d u

Assim, substituindo ln ⁡ x e d x na integral, vamos obter

∫ s e n ln ⁡ x x d x → ∫ s e n u x x d u

∫ s e n u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo novamente, temos que a integral de s e n u é

∫ s e n u d u = - cos ⁡ u

Voltando o problema para o domínio de x , temos que

∫ s e n ln ⁡ x x d x = - cos ⁡ ln ⁡ x + C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ s e n ln ⁡ x x d x = - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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