Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

3 – Calcule.

p) ∫ 1 c o s 2 x 1 + t g x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Aqui, queremos calcular a integral de f x = 1 c o s 2 x 1 + t g x .

Parece que vai dar um pouco de trabalho, não é? 👀

Nesse problema, podemos usar o método da substituição para resolver o problema, que tal?

O método da substituição consiste em substituir parte da função de integração por uma variável e ao fazer a adaptação da integral, podemos simplificar nossos cálculos.

Bora ver como é! 😉

Passo 2

Se chamarmos 1 + t g x de u , vamos substituir d x por

d u d x = d 1 + t g x d x

Pela regra da cadeia, temos

d u d x = d 1 + t g x d x · d v d v

d u d x = s e c 2 x · 1 2 v

d u d x = s e c 2 x 2 1 + t g x

Isolando d x

d x = 2 1 + t g x s e c 2 x d u

Assim, substituindo d x   e 1 + t g x na integral...

∫ 1 c o s 2 x 1 + t g x d x → ∫ 1 c o s 2 x u 2 u s e c 2 x d u

∫ 1 c o s 2 x 2 s e c 2 x d u

Lembrando de identidades trigonométricas, vemos que 1 / c o s 2 x é igual a s e c 2 x , logo

∫ s e c 2 x 2 s e c 2 x d u

∫ 2 d u

Como a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração, então

∫ 2 d u = 2 u

Voltando para o domínio de x , temos

∫ 1 c o s 2 x 1 + t g x d x = 2 1 + t g x + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 1 c o s 2 x 1 + t g x d x = 2 1 + t g x + C

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