Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 369123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

5) Calcule cada uma das integrais abaixo.

(b) ∫ x x + 1   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o enunciado dessa questão é bem direto e não tem lá muita interpretação de texto, pra resolvermos esse exercício aqui, primeiro precisamos definir que método utilizaremos! Tá, mas como eu faço isso?

Nesse exercício, como temos x multiplicando uma outra expressão contendo x , que está dentro de uma raiz, vemos que é possível utilizarmos o método da integração por substituição u !! E como se usa esse método??

Temos do enunciado que:

∫ x x + 1   d x

Mas vamos reescrever essa expressão como sendo:

∫ x x + 1 1 2   d x         ( I )

Então, vamos definir agora os nossos valores de u e então encontrar sua derivada ( d u )!

Vamos adotar u = x + 1 . Então, vamos ter da mesma maneira que x = u - 1 .

Além disso, a derivada d u   será:

d u = d x

Vamos agora reescrever a nossa integral substituindo os valores acima em ( I ) , obtendo:

∫ u - 1   u 1 2 d u

Aqui nós ainda podemos aplicar as propriedades distributivas e obter uma expressão que seja mais fácil de resolver!

∫ u 3 2 - u 1 2   d u

Olha só que legal!! Aquela expressão meio estranha de divisão que o enunciado deu virou algo bem mais simples!! Uhul!!

Bora lá resolver essa integral então!!

Passo 2

Antes de tudo, vamos ver na nossa integral ali que nós temos a subtração de duas expressões, o que nos permite dividir a integral em duas:

∫ u 3 2   d u - ∫ u 1 2   d u

Vamos agora resolver cada uma das integrais acima separadamente. Resolvendo a primeira temos que:

∫ u 3 2   d u = 2 5   u 5 2

Resolvendo a segunda integral vamos ter que:

∫ u 1 2   d u = 2 3   u 3 2

Juntando esses dois resultados temos que:

2 5   u 5 2 - 2 3   u 3 2

Agora basta substituirmos o valor de u que vamos obter a resposta final pra essa questãozinha aqui!

2 5   x + 1 5 2 - 2 3   x + 1 3 2 + C

Lembrando aqui que C é a nossa constante de integração!!

Conseguimos!!!! Bem tranquilo, não é mesmo?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

2 5   x + 1 5 2 - 2 3   x + 1 3 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x