Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponta:

b) ∫ 2 sec 2 ⁡ θ tan 3 ⁡ θ - 2 tan 2 ⁡ θ + 2 tan ⁡ θ d θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral da função e verificar se ela é convergente ou não, quando for o caso (quando a gente se deparar com alguma indeterminação, por exemplo).

Pra resolver essa integral a gente pode tentar fazer uma substituição, chamando u = tan ⁡ θ . Dessa forma, d u = sec 2 ⁡ θ   d θ e teremos:

2 ∫ 1 u 3 - 2 u 2 + 2 u d u

Repare que temos um polinômio no denominador que tem um grau maior que o polinômio no numerador ( u 0 = 1 ) . Sempre que isso acontecer, podemos pensar em fazer a integração usando o método das frações parciais. O que a gente precisa fazer é fatorar o denominador e encontrar constantes que nos permitam escrever nossa integral de maneira mais simples.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos reescrever nossa integral colocando u em evidência no denominador:

2 ∫ 1 u ( u 2 - 2 u + 2 ) d u

Repare que no denominador, temos um termo linear x e um termo quadrático irredutível ( u 2 - 2 u + 2 ). Ele é chamado irredutível porque não é possível fatorar ele em termos de fatores lineares. Quando isso acontece, podemos desmembrar nosso integrando em frações parciais na forma:

2 ∙ 1 u ( u 2 - 2 u + 2 ) = 2 A u + B 2 u - 2 + C u 2 - 2 u + 2

Observe que o numerador da segunda fração à direita da igualdade é a derivada do denominador da mesma fração. Escrever a fração assim é um truque que facilita as continhas nesses casos.

Então, vamos ter:

2 A u + 4 B u - 4 B + 2 C u 2 - 2 u + 2

Colocando no mesmo denominador:

2 A u 2 - 2 u + 2 + u 4 B u - 4 B + 2 C u u 2 - 2 u + 2

2 A u 2 - 4 A u + 4 A + 4 B u 2 - 4 B u + 2 C u u u 2 - 2 u + 2

Vamos agrupar os termos do numerador:

2 A + 4 u 2 + - 4 A - 4 B + 2 C u + 4 A u u 2 - 2 u + 2

Comparando com a fração original do integrando:

2 u u 2 - 2 u + 2 = 2 A + 4 B u 2 + - 4 A - 4 B + 2 C u + 4 A u u 2 - 2 u + 2

Igualando os coeficientes do numerador, vamos ter:

4 A = 2 → A = 1 2

2 A + 4 B = 0 → 2 1 2 + 4 B = 0 → B = - 1 4

E por fim,

- 4 A - 4 B + 2 C = 0

- 4 1 2 - 4 - 1 4 + 2 C = 0 → C = 1 2

Encontramos nossas constantes.

Passo 3

Agora podemos reescrever a integral na forma:

2 ∫ 1 u ( u 2 - 2 u + 2 ) d u = 2 ∫ A u + B 2 u - 2 + C u 2 - 2 u + 2 d u

Substituindo os valores de A , B e C encontrados:

∫ 1 / 2 u + - 1 / 4 2 u - 2 + 1 / 2 u 2 - 2 u + 2 d u

∫ 1 2 u + - u + 2 2 ( u 2 - 2 u + 2 ) d u

Separando a soma em duas integrais:

∫ 1 2 u d u + ∫ - u + 2 2 ( u 2 - 2 u + 2 ) d u

Da primeira integral, temos:

∫ 1 2 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Pra segunda integral vamos precisar fazer outra substituição pra nos ajudar.

Passo 4

Pra resolver ∫ - u + 2 2 ( u 2 - 2 u + 2 ) d u vamos primeiro completar o quadrado no denominador:

∫ - u + 2 2 ( u 2 - 2 u + 2 ) d u = 1 2 ∫ - u + 2 u - 1 2 + 1 d u

E agora vamos chamar v = u - 1 . Dessa forma,

u = v + 1

d u = d v

Substituindo, temos:

1 2 ∫ - v - 1 + 2 v 2 + 1 d v = 1 2 ∫ - v + 1 v 2 + 1 d v

Separando a integral da soma em duas integrais:

1 2 ∫ - v + 1 v 2 + 1 d v = 1 2 - ∫ v v 2 + 1 d v + ∫ 1 v 2 + 1 d v

Dando uma olhadinha na tabela de integrais, vamos obter:

1 2 - ln ⁡ v 2 + 1 + arctan ⁡ v

Mas v = u - 1 então vamos ter:

1 2 - ln ⁡ ( u - 1 ) 2 + 1 + arctan ⁡ u - 1

Passo 5

Agora podemos juntar nossos resultados:

= 1 2 ln ⁡ u + 1 2 - ln ⁡ ( u - 1 ) 2 + 1 + arctan ⁡ u - 1

Mas não podemos esquecer que nossa variável original é θ , e que nós definimos u = tan ⁡ θ lá no passo 1 . Então, temos:

∫ 2 sec 2 ⁡ θ tan 3 ⁡ θ - 2 tan 2 ⁡ θ + 2 tan ⁡ θ d θ =

= 1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ tan 2 ⁡ θ - 2 tan ⁡ θ + 2 + arctan ⁡ tan ⁡ θ - 1 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 ln ⁡ tan ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ tan 2 ⁡ θ - 2 tan ⁡ θ + 2 + arctan ⁡ tan ⁡ θ - 1 + C

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