Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule o comprimento da curva y = 4 5 x 5 / 4 com 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

O enunciado é bem direto no que ele quer que façamos! Mas como calculamos o comprimento de uma curva? Nós fazemos isso através da seguinte fórmula:

C = ∫ a b 1 - f ' x 2 d x

Em que f ' ( x ) é a derivada da função! Bora fazer esta questão!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos é calcular a derivada de nossa função! Usando que:

f x = 4 5 x 5 / 4

Portanto, aplicando a regra do tombo, temos:

f ' x = d d x f ( x ) = 4 5 5 4 x 5 4 - 1 = x 1 / 4

Vamos substituir esse resultado em nossa integral! Bora lá!

Passo 3

Temos que

C = ∫ 0 1 1 - f ' ( x ) 2 d x = ∫ 0 1 1 - x 1 4 2 d x = ∫ 0 1 1 - x d x

Para começarmos a resolver vamos fazer a seguinte substituição:

u = x       e       d u = 1 2 x d x → d x = 2 u d u

De forma que nossa integral fica como:

∫ 0 1 1 - x d x = 2 ∫ u 0 u 1 u 1 - u d u = 2 ∫ 0 1 u 1 - u d u

Ainda precisamos mudar algumas coisinhas! Bora lá!

Passo 4

Vamos fazer uma segunda substituição! Saca só:

v = 1 - u   e       d v =   - d u

Temos que:

2 ∫ 0 1 u 1 - u d u = - 2 ∫ v 0 v 1 1 - v v d v = - 2 ∫ 1 0 v d v + 2 ∫ 1 0 v 3 / 2 d v

Agora ficou em um jeitinho bom para nós resolvermos! Bora lá!

Passo 5

Usando que:

∫ 1 0 v 1 / 2 d v = v 1 2 + 1 1 2 + 1 1 0 = v 3 / 2 3 / 2 1 0 = 2 3 v 3 / 2 1 0 = 2 3 0 3 2 - 1 3 / 2 = - 2 3

E também que

∫ 1 0 v 3 / 2 d v = v 3 2 + 1 3 2 + 1 1 0 = v 5 / 2 5 / 2 1 0 = 2 5 v 5 / 2 1 0 = 2 5 0 5 / 2 - 1 5 / 2 = - 2 5

Agora é só voltar na integral! Belezinha?

Passo 6

Temos então que

- 2 ∫ 1 0 v d v + 2 ∫ 1 0 v 3 2 d v = - 2 - 2 3 + 2 - 2 5 = 4 3 - 4 5 = 20 - 12 15 = 8 15

Resumindo, temos que:

C = 8 15

Essa questão já era! Te vejo na próxima! Tchauzinho!!

Resposta

C = 8 15

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32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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