Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 201123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Calcule:

e )   ∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) d t

Passo 1

Opa!! Bora para mais uma!!

Para esta aqui vamos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + cot 2 ⁡ ( 2 t ) = csc 2 ⁡ ( 2 t )         ( 1 )

E também que:

d d t cot ⁡ 2 t = - 2 csc 2 ⁡ 2 t           ( 2 )

Vamos tentar!! Bora lá!!

Passo 2

Temos que com a equação (1):

∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) = ∫ csc 4 ⁡ ( 2 t ) csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t = ∫ csc 4 ⁡ 2 t ( 1 + cot 2 ⁡ ( 2 t ) ) d t

Ou seja:

∫ csc 4 ⁡ 2 t ( 1 + cot 2 ⁡ ( 2 t ) ) d t = ∫ csc 4 ⁡ ( 2 t ) d t + ∫ csc 4 ⁡ ( 2 t ) cot 2 ⁡ ( 2 t ) d t

Vamos continuar expandindo esta expressão!

Passo 3

Novamente com a equação (1):

∫ csc 4 ⁡ 2 t d t + ∫ csc 4 ⁡ 2 t cot 2 ⁡ 2 t d t = →

→ = ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t + ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) cot 2 ⁡ ( 2 t ) d t + ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) cot 2 ⁡ ( 2 t ) + ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) cot 4 ⁡ ( 2 t ) d t

A primeira integral está em formato de identificar uma primitiva, as outras integrais precisamos fazer uma substituição simples! Saca só!

Passo 4

Vou fazer a substituição u = cot ⁡ ( 2 t ) e d u =   - 2 csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t , de forma que:

∫ csc 2 ⁡ 2 t d t + 2 ∫ csc 2 ⁡ 2 t cot 2 ⁡ 2 t d t + ∫ csc 2 ⁡ 2 t cot 4 ⁡ 2 t d t = →

→ = ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t - 2 2 ∫ u 2 d u - 1 2 ∫ u 4 d u

Agora, para a primeira integral, vamos dar uma olhada na equação (2), temos que:

d d t cot ⁡ 2 t = - 2 csc 2 ⁡ 2 t → d d t co t ⁡ 2 t d t = - 2 csc 2 ⁡ 2 t d t →

→ ∫ d cos ⁡ 2 t = - 2 ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t

Portanto:

∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t = - 1 2 cot ⁡ 2 t + C

Vamos resolver as que faltam agora!

Passo 5

Para estas, vamos utilizar simplesmente que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, temos que:

∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t - ∫ u 2 d u - 1 2 ∫ u 4 d u = - 1 2 cot ⁡ 2 t - u 3 3 - 1 10 u 5 + C

Nas variáveis originais, temos:

∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) d t = - cot ⁡ 2 t 2 - cot ⁡ ( 2 t ) 3 3 - cot ⁡ ( 2 t ) 5 10 + C

Mais uma alternativa já era! Bora bora para a próxima!!

Resposta

∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) d t = - cot ⁡ 2 t 2 - cot ⁡ ( 2 t ) 3 3 - cot ⁡ ( 2 t ) 5 10 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x