Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

  1. Calcule as integrais abaixo:
  1. ∫ 1 x x 2 - 1 d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte integral para resolver

∫ 1 x x 2 - 1 d x

Repara que ela não é uma integral direta, então vamos ter que suar alguma estratégia de integração para resolve-la.

A gente sempre começa tenta fazer por substituição simples! Para isso, nós temos que encontrar uma parte da integral que tenha a relação função e sua derivada.

Bora lá!

Passo 2

Para escolhermos qual substituição fazer, vamos olhar para parte polinimial da função e lembrar que a derivada de um polinominio é:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Ou seja, se temos partes polinomiais que diferem em um grau, a que te tiver o grau maior sera uma candidata a ser chamada de u .

Sendo assim, vamos fazer

u = x 2 - 1 → x = u 2 + 1

Derivando,

d u = x x 2 - 1 d x → d u u 2 + 1 = d x x 2 - 1

Agora vamos reescrever a nossa integral!

Passo 3

Fazendo a substituição simples, ficamos com

∫ 1 x x 2 - 1 d x = ∫ 1 u 2 + 1 ( u 2 + 1 d u

Logo,

∫ 1 x x 2 - 1 d x = ∫ 1 u 2 + 1 d u

Agora vamos resolver a integral!

Passo 4

Para quem não lembrar, nós temos agora uma integral direta! Pois,

arctan ⁡ x ' = 1 x 2 + 1

Logo,

∫ 1 u 2 + 1 d u = arctan ⁡ u + C

Mas lembra que u = x 2 - 1 . Então,

∫ 1 x x 2 - 1 d x = arctan ⁡ ( x 2 - 1 ) + C

Onde C é a nossa constante de integração!

Resposta

arctan ⁡ ( x 2 - 1 ) + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x