Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais abaixo.

e )   ∫ 1 v ( 1 + v ) 5 d v

Passo 1

Oiiii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais um probleminha?

Bom a questão quer que calculemos a integral indefinida ∫ 1 v ( 1 + v ) 5 d v .

Todavia, antes de calcularmos a integral em si, vamos fazer um breve resumo sobre o que é uma integral indefinida. A integral indefinida é aquela em que não possui limites de integração, logo o resultado nunca será um valor numérico e sim uma função primitiva da função a qual estou integrando, em síntese nessa questão estaremos procurando algo do seguinte formato:

∫ 1 v ( 1 + v ) 5 d v   =   g ( v )   +   K , onde .

Portanto, o que precisamos encontrar nessa letra é o g ( v ) que é nossa função primitiva Como poderemos iniciar a nossa questão??

Passo 2

Bom pessoal iremos aplicar a regra da substituição que consiste basicamente na troca de variáveis para facilitar nossos cálculos. Chamaremos u   =   v . Então calculamos a derivada

Portanto poderemos escrever a nossa integral da seguinte forma

  ∫ 2 u u ( 1   + u ) 5   d u = ∫ 2 ( 1   + u ) 5   d u

Removendo a constante:

∫ 2 ( 1   + u ) 5   d u   =   2 ⋅ ∫ 1 ( 1 + u ) 5   d u

Passo 3

Precisamos novamente aplicar a regra da substituição. Chamaremos w   =   1 + u . Calculando a derivada teremos

Portanto escreveremos a nossa expressão da seguinte forma

  2 ⋅ ∫ 1 ( 1 + u ) 5   d u   = 2 ⋅ ∫ 1 ( w ) 5 d w   = 2 ⋅ w - 5 + 1 - 5 + 1   = 2 ⋅ ( - 1 4 w 4   )    

Passo 4

Teremos agora que voltar a nossa equação para a variável de origem v .

Assim, a nossa expressão fica

2 ⋅ ( - 1 4 w 4   )     = 2 ⋅ ( - 1 4 ( 1 + v ) 4   ) =   - 1 2 ( 1   + v ) 4  

Conclui-se que a resposta final é

∫ 1 v ( 1 + v ) 5 d v   =   g ( v )   +   K , .

∫ 1 v ( 1 + v ) 5 d v     = - 1 2 ( 1   + v ) 4   + K   , .

Até mais! Bons Estudos!

Resposta

∫ 1 v ( 1 + v ) 5 d v     = - 1 2 ( 1   + v ) 4   + K   , .

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