Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

c )   ∫ - π 2 0 s e n ( t ) c o s ( t ) d t

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

A primeira coisa que podemos notar dessa questão é que a nossa integral é definida, uma vez que ela possui limites de integração. Além disso, agora sabemos também que por ser uma integral definida a resposta será um número e não mais uma outra função.

Bom, a questão quer saber qual será ∫ - π 2 0 s e n ( t ) c o s ( t ) d t , outrossim o enunciado da questão ainda nos dá uma dica fundamental que é o fato de podermos utilizar a Regra da Substituição sempre que julgarmos necessário. Como poderemos dar início???

Passo 2

Iremos utilizar a Regra da Substituição, a regra da substituição consiste em fazer uma mudança de variável com o objetivo de otimizar os cálculos. Chamaremos u   =   s e n ( t ) . Calculando a derivada

Reescrevendo a expressão temos que

∫ - π 2 0 s e n ( t ) c o s ( t ) d t   = ∫ - π 2 0 u c o s ( t ) ⋅ d u c o s ( t ) = ∫ - π 2 0 u d u = u ² 2 | - π 2 0    

Passo 3

Substituindo na equação do passo anterior u por s e n ( t ) encontramos que

  ∫ - π 2 0 s e n ( t ) c o s ( t ) d t   = u ² 2 | - π 2 0   = s e n ( t ) ² 2 | - π 2 0   = s e n ( 0 ) ² 2   - s e n ( - π 2 ) ² 2   =   0   - ( - 1 ) ² 2   =   - 1 2      

Bora praticar mais um pouquinho pessoal!

Bons Estudos! :)

Resposta

∫ - π 2 0 s e n ( t ) c o s ( t ) d t   =   - 1 2  

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x