Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2) Calcule as integrais definidas abaixo:

b) ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x

Passo 1

Oieee, galera linda do Responde Aí. Tudo bem por aí?

Eu não quero ninguém aqui assim:

Quero todo mundo felizãaao, ainda mais depois de resolvermos mais essa! Bora lá então.

Nesse exercício precisamos calcular a integral definida dada pelo enunciado. Ou seja, vamos executar a integração da função conforme as regras e métodos que já conhecemos e, no final, vamos aplicar o intervalo de integração que também foi informada pelo enunciado.

Legal, mas como fazemos isso? Como calculamos essa integral?

Apesar de parecer confusa, essa função pode ser resolvida sem muito segredo. Um ponto importantíssimo que precisamos notar aqui é que para calcularmos essa integral usaremos a Integração por Substituição.

Nossa, como funciona esse tipo de integral mesmo?

A Integração por Substituição funciona como uma “operação inversa” da regra da cadeia das derivadas. Aqui vamos definir um u que nos ajudará a trocar todas as funções de x anteriormente para funções de u . Com isso diminuímos a complexidade da função e podemos, então, integrar.

Agora que relembramos tudo isso, vamos calcular?

Passo 2

Nesse nosso exemplo, faremos a substituição chamando de u = x 2 + 1 .

Sendo assim, podemos assumir que:

u   d u = x   d x

d u d x = x u

Como u = x 2 + 1 :

d u d x = x x 2 + 1

d u = x x 2 + 1 d x

d x = x 2 + 1 x d u

Com isso, se substituirmos na integral original, teremos que:

∫ x 3 u x 2 + 1 x d u

E que:

∫ x 3 u u x d u

Aqui temos duas simplificações possíveis:

∫ x 2 d u

Apesar de tudo o que já calculamos, perceba que temos na mesma integral a variável x com d u . Não podemos deixar assim. Temos que deixar a integral inteira em função de u .

Portanto, se u = x 2 + 1 , então:

u 2 = x 2 + 1

x 2 = u 2 - 1

Nossa integral ficou como:

∫ u 2 - 1 d u

Passo 3

Finalmente chegamos no cálculo da integral. A primeira coisa que faremos é ajustar os limites originais da integração. No enunciado vimos que a = 0 e b = 1 era o intervalo, ou seja, os possíveis valores para que x fosse calculado.

Como agora não estamos mais utilizando x e sim u , precisamos considerar que u = x 2 + 1 e descobrir os novos limites de integração:

a u = 0 2 + 1 = 1 = 1

b u = 1 2 + 1 = 2

Além disso, como há uma subtração entre os termos da integral, podemos separá-los:

∫ 1 2 u 2   d u - ∫ 1 2 1   d u

Ambas as integrais são de substituição simples, então teremos que:

u 3 3 - u 2 1

Passo 4

Para finalizar, vamos aplicar os limites de integração:

2 3 3 - 2 - 1 3 3 - 1

2 2 3 - 2 + 2 3

Aplicando o MMC:

- 2 - 2 3

Ihaaaaá! Estamos voando pessoal!

Bora aproveitar esse embalo e resolver mais uma questãozinha?

Resposta

- 2 - 2 3

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x