Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

a )   ∫ e - 5 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

O problema nos pediu para calcularmos essa integral indefinida aqui:

∫ e - 5 x d x

Mas será que temos uma tabela para essa integral? Ou será que temos pelo menos alguma coisa parecida?

Isso, temos uma coisa parecida! A primeira coisa que olhamos em uma integral é: tem na tabela? Se não tiver, nos perguntamos o seguinte: e será que tem algo bem parecido?

Bom, quando a resposta for sim a ideia é resolver essa integral por substituição simples, no nosso caso sabemos qual é a integral de e u :

∫ e u d u = e u + C

E é bem parecido com a integral que precisamos resolver!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos resolver o seguinte:

∫ e - 5 x d x

Para transformarmos na integral da exponencial

∫ e u d u

Precisamos fazer a seguinte mudança de variável:

u = - 5 x

Feito isso, agora precisamos achar quem é nosso d x , basta derivar dos dois lados:

d u = - 5 d x

Agora vem a ideia master da substituição simples: substituir tudo que tem x por u ! A integral final deve ser uma coisa que cabe certinho na tabela

Então nossa substituição é

u = - 5 x

d u = - 5 d x → d x = - 1 5 d u

Então agora vamos substituir o argumento da integral e aquele d x :

∫ e - 5 x d x = ∫ e u - 1 5 d u = - 1 5 ∫ e u d u

Passo 3

Agora que nossa integral tem uma correspondente direta da tabela, é só integrar:

∫ e - 5 x d x = - 1 5 ∫ e u d u = - 1 5 e u + C

E acabou? Não! Precisamos retornar ao x ! Lembrando que u = - 5 x , daí temos nosso resultado final:

∫ e - 5 x d x = - 1 5 e - 5 x + C

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

- 1 5 e - 5 x + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x