Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

d )   ∫ x 2 x 3 - 1 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ x 2 x 3 - 1 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ x 2 x 3 - 1 d x

E olha só: temos um x 3 dentro da raiz e um x 2 por fora. Quando derivamos uma função polinomial, o expoente cai, não cai? Então é isso! Vamos chamar de u

u = x 3 - 1

E derivar:

d u = 3 x 2   d x

Logo:

d x = d u 3 x 2

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nossa integral:

∫ x 2 x 3 - 1 d x

Primeiro o u :

∫ x 2 u d x

Agora o d x = d u 3 x 3 :

∫ x 2 u d u 3 x 2

Agora damos aquela arrumadinha:

∫   u   3 d u

Que é o mesmo que:

1 3 ∫   u 1 2   d u

Ficou a integral de uma potência!

Passo 4

Agora partiu integrar!

1 3 ∫   u 1 2   d u = 1 3 × 2 3 u 3 2 + C

1 3 × 2 3 u 3 2 + C = 2 9 u 3 2 + C

Passo 5

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = x 3 - 1

E substituir no nosso resultado:

∫ x 2 x 3 - 1 d x = 2 9   x 3 - 1 3 / 2 + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ x 2 x 3 - 1 d x = 2 9   x 3 - 1 3 / 2 + C

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