Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

k )   ∫ arctan ⁡ x 1 + x 2 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ arctan ⁡ x 1 + x 2 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ arctan ⁡ x 1 + x 2 d x

E olha só: temos um arctan ⁡ x no numerador e um 1 1 + x 2 multiplicando! Quando derivamos um arctan ⁡ x , o resultado não é 1 1 + x 2 ? Então é isso! Vamos chamar de u

u = arctan ⁡ x

E derivar:

d u = 1 1 + x 2   d x

Essa é nossa substituição!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

u = arctan ⁡ x

d u = 1 1 + x 2   d x

Colocando na integral temos

∫ arctan ⁡ x 1 + x 2 d x = ∫ u   d u

Ficou a integral de uma potência!

agora partiu integrar!

∫ arctan ⁡ x 1 + x 2 d x = ∫ u   d u = u 2 2 + C

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = arctan ⁡ x

E substituir no nosso resultado:

∫ arctan ⁡ x 1 + x 2 d x = ( arctan ⁡ x ) 2 2 + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( arctan ⁡ x ) 2 2 + C

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Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x