Calcule as integrais indefinidas abaixo:

e )   ∫ sec 2 ⁡ 2 x + x 2 e x 3 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ 2 x + x 2 e x 3 d x = ∫ sec 2 ⁡ ( 2 x ) d x + ∫ x 2 e x 3 d x

A da secante até tem uma coisa parecida na tabela, mas a outra não! E agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ sec 2 ⁡ 2 x + x 2 e x 3 d x = ∫ sec 2 ⁡ 2 x d x + ∫ x 2 e x 3 d x

Separando em duas, vamos analisar a da secante primeiro. A integral da secante ao quadrado está na tabela, bem bonita:

∫ sec 2 ⁡ u d u

E comparando com a que temos, podemos fazer uma pequena mudança de variáveis

u = 2 x

E assim teremos a fórmula da tabela! Mas e a segunda integral?

Dá uma olhada de novo no integrando: temos um x 3 dentro do expoente e um x 2 por fora. Quando derivamos uma função polinomial, o expoente cai, não cai? Então é isso! Vamos chamar de u

u = x 3

E derivar:

d u = 3 x 2   d x

Dentro do integrando temos x 2 d x , então podemos rescrever para ter exatamente isso de um lado

d u 3 = x 2 d x

Tranquilo?

Então são essas substituições que vamos fazer!

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando! Na primeira integral (na da secante) temos

∫ sec 2 ⁡ 2 x d x

u = 2 x ∴ d u = 2 d x

d u 2 = d x

Colocando na integral temos

∫ sec 2 ⁡ 2 x d x = ∫ sec 2 ⁡ u . d u 2 = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u

agora partiu integrar!

∫ sec 2 ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u = 1 2 t g   u

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = 2 x

E substituir no nosso resultado:

∫ sec 2 ⁡ 2 x d x = 1 2 t g   2 x

Beleza?

Passo 4

Agora vamos para a outra integral!

∫ x 2 e x 3 d x

A substituição que tínhamos sugerido é

u = x 3

E aí derivando

d u = 3 x 2 d x ∴ d u 3 = x 2 d x

Agora é só substituir:

∫ x 2 e x 3 d x = ∫ e u . d u 3 = 1 3 ∫ e u d u = 1 3 e u

Não se esqueça de voltar para x !

∫ x 2 e x 3 d x = 1 3 e x 3

Tranquilo até aqui? Agora é só juntar os resultados!

Passo 5

Nós tínhamos:

∫ sec 2 ⁡ 2 x + x 2 e x 3 d x

Dividimos em duas e no passo 3 encontramos a integral da secante e no passo 4 da exponencial:

∫ sec 2 ⁡ 2 x + x 2 e x 3 d x = 1 2 t g   2 x + 1 3 e x 3 + C

Colocamos apenas uma constante no final, por ser uma integrar indefinida!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

1 2 t g   2 x + 1 3 e x 3 + C

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x