Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo:

14 )   ∫ sec ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sec ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar fazendo um truque sujo! Multiplicando em cima e embaixo do integrando por ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) , assim temos

∫ sec ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x sec ⁡ x + tan ⁡ x = ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x

Beleza?

Agora chamando u = sec ⁡ x + tan ⁡ x , temos que d u = ( sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x )   d x

Aí nossa integral fica assim

∫ d u u

Beleza?

Agora é só integrar!

= ln ⁡ u + C

show?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = sec ⁡ x + tan ⁡ x

Aí nossa integral

ln ⁡ ( u ) + C = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

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