Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas abaixo

69 .   ∫ 1 x - x 3 d x

Sugestão: faça u = x 6

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 1 x - x 3 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo u = x 6 ,   d u = 1 6 x 5 6 d x , e também temos que x = u 6 . Aí nossa integral fica

∫ 1 x - x 3 d x = ∫ 1 u 6 - u 6 3 6 x 5 6 d u . = 6 ∫ 1 u 6 - u 6 3 ( u 6 ) 5 6 d u

Aí simplificando os radicais temos

= 6 ∫ 1 u 3 - u 2 u 5 d u = 6 ∫ u 5 u 2 u - 1 d u

= 6 ∫ u 3 u - 1 d u

Beleza?

Podemos ainda fazer uma outra mudança de variáveis

v = u - 1

d v = d u

Aí temos

6 ∫ v + 1 3 v d v = 6 ∫ v 2 + 3 v + 3 + 1 v d v

Agora é só integrar! Viu como nosso integrando ficou bem mais tranquilo?

Só integrar! Bora!

= 6 v 3 3 + 18 v 2 2 + 18 v + 6 ln ⁡ v + C

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

v = u - 1 = x 6 - 1

Aí nossa integral em v fica assim em x

6 x 6 - 1 3 3 + 18 x 6 - 1 2 2 + 18 x 6 - 1 + 6 ln ⁡ x 6 - 1 + C

2 x 6 - 1 3 + 9 x 6 - 1 2 + 18 ( x 6 - 1 ) + 6 ln ⁡ x 6 - 1 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

2 x 6 - 1 3 + 9 x 6 - 1 2 + 18 ( x 6 - 1 ) + 6 ln ⁡ x 6 - 1 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x