Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 570123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo O x . Encontre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto P ( θ ) da circunferência que se encontra inicialmente na origem. (Esta curva é chamada ciclóide, veja a Figura 1(b))

Passo 1

Eaew, beleza?

Temos uma circunferência de raio r rolando ao longo do eixo O x (para a direita), precisamos parametrizar a curva que o ponto P ( θ ) percorre enquanto este movimento ocorre, esta curva é o ciclóide descrito na parte ( b ) da figura

O segredo aqui é escrever as coordenadas x e y em termos de r e θ , mas para fazer isso será necessário usar algumas relações trigonométricas básicas e visualizar algumas figuras! Vem comigo!

Passo 2

Imagine que essa roda está molhada de tinta e que por onde passa ela deixa um rastro! O tamanho do rastro será exatamente o tamanho do arco que tocou o chão ao longo do movimento, então, temos que a seguinte distância

em que temos que x ' = r θ , comprimento de arco, mas note que a coordenada no ponto será

x = r θ - r   c o s ( θ - π / 2 ) = r ( θ   - s e n ( θ ) )

já que o cosseno e o seno são duas funções trigonométricas relacionadas por uma fase π / 2 . Da mesma forma, temos que a coordenada vertical será

y = r + r   s e n ( θ - π / 2 ) = r ( 1 - c o s ( θ ) )

em que o sinal de menos surge devido a paridade da função seno! Se quiser visualizar isso um pouco melhor tente expandir a expressão s e n ( a - b ) e c o s ( a - b ) usando a identidade trigonométrica, a parametrização do ciclóide é então dada por

γ ( θ ) = [ r ( θ - s e n ( θ ) ) , r ( 1 - c o s ( θ ) ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

γ ( θ ) = [ r ( θ - s e n ( θ ) ) , r ( 1 - c o s ( θ ) ) ]

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x