Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais indefinidas:

∫ s e n x x d x

Passo 1

Cara, esse argumento do seno tá muito feio, né? Vamos chamar ele de u , para ver no que dá:

u = x

u = x 1 2 ∴ d u d x = 1 2 x ∴ 2 d u = d x x

Aí nossa integral fica:

∫ s e n x x d x = ∫ s e n x d x x = ∫ s e n u 2 d u = 2 ∫ s e n u d u

Olha, o bizu aqui é: quando você deriva uma raiz, aparece um termo igualzinho no denominador. Igual aconteceu ali

u = x 1 2 ∴ d u d x = 1 2 x

Então se numa função você tiver a raiz em algum lugar ruim de tirar (como num argumento de uma função), e tiver a raiz igualzinha no denominador do seu integrando, chama essa raiz do argumento de u , e faz o que a gente fez aqui, beleza?

Passo 2

Temos essa integral para resolver:

2 ∫ s e n u d u

Mas repara que ela já tem uma primitiva direta, o - cos ⁡ u ! Então a gente pode escrever:

2 ∫ s e n ( u ) d u = - 2 cos ⁡ u

Voltando para x :

u = x

∫ s e n x x d x = - 2 cos ⁡ x + C

E não esquece da constante de integração já que temos uma integral indefinida, tá? Prontinho!

Resposta

- 2 cos ⁡ x + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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