Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as integrais. Justifique cada etapa do cálculo.

1   y = ∫ x 2 x 3 - 2 5 d x       e       ∫ x 2 2 - x d x

Passo 1

Faaaaaalaeeee!! Seguinte, vamos analisar primeiramente a primeira integral:

∫ x 2 x 3 - 2 5 d x      

Vamos aplicar o método da substituição aqui! Mas como???

Seguinte.. vamos dizer que:

u = x 3 - 2

E, diferenciando u , podemos encontrar:

d u = 3 x 2   d x ∴ d x = d u 3 x 2

Agora é só substituir na integral que a questão deu!!

Passo 2

Assim, a gente tem essa integral aqui:

∫ x 2 u 5 3 x 2 d u

Podemos cancelar o x 2 pois ele aparece no denominador e no numerador, ne?! Assim, temos:

∫ u 5 3 d u

Colocando a constante para fora da integral e desenvolvendo, encontramos:

1 3 ∫ u 5 d u = 1 3 ∙ u 6 6 + c = u 6 18   + c

Passo 3

Agora, substituindo u por x 3 - 2 , temos:

x 3 - 2 6 18 + c

Viu como é simples??? Agora vamos para a outraaa!!

Passo 4

Olha, novamente... vamos analisar a segunda integral:

∫ x 2 2 - x d x      

Vamos aplicar o método da substituição aqui novamente! Mas como???

Seguinte.. vamos dizer que:

u = 2 - x

E, diferenciando u , podemos encontrar:

d u = 1 2   2 - x 1 2 - 1   d x ∴ d u = - d x 2 2 - x

Assim, podemos dizer que:

d x = - 2 2 - x   d u

Agora é só substituir na integral que a questão deu!!

Passo 5

Assim, a gente tem essa integral aqui:

∫ x 2 u ( - 2 u )   d u      

Como u = 2 - x , então x = 2 - u 2 . Assim, a gente substitui nessa integralzinha que fica:

∫ ( 2 - u 2 ) 2 u ( - 2 u )   d u      

Desenvolvendo, a gente tem que:

∫ - 2 2 - u 2 2   d u ∴

- 2 ∫ u 4 - 4 u 2 + 4   d u ∴  

- 2 u 5 5 - 4 u 3 3 + 4 u ∴

- 2 1 5 2 - x 5 2 - 4 3 2 - x 3 2 + 4 2 - x + c    

Belezura demais né??!!

Bora pra próxima?? haha

Resposta

x 3 - 2 6 18 + c

- 2 1 5 2 - x 5 2 - 4 3 2 - x 3 2 + 4 2 - x + c    

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x