Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

b) Calcule as integrais

a )   ∫ 3 x 2 + x 3 - x 1 2 x 2 + sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa integral indefinida

∫ 3 x 2 + x 3 - x 1 2 x 2 + sec 2 ⁡ x d x

E pediu para calcularmos! Como resolver essa aqui?

A ideia é separar em três integrais e verificar qual das fórmulas da tabela podemos usar! Mas quatro integrais é mais fácil do que uma?

É sim! Ficaremos com quatro integrais mais simples, e aí nosso resultado final vai ser a soma dos resultados individuais.

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Nossa integral é

∫ 3 x 2 + x 3 - x 1 2 x 2 + sec 2 ⁡ x d x

Nossa primeira integral é com o primeiro termo à direita do integrando

∫ 3 x 2 d x

Vamos usar a regra de integração de polinômio!

∫ 3 x - 2 d x = 3 x - 2 + 1 - 2 + 1 = - 3 x - 1 = - 3 x    

Tudo bem até aqui?

Agora a segunda integral é com o segundo termo mais à esquerda

∫ x 3 d x

Aqui podemos transformar a raiz em expoente fracionário e usar a mesma regra que usamos no primeiro termo

∫ x 1 / 3 d x = x 1 3 + 1 1 3 + 1 = x 4 3 4 / 3 = 3 4 x 4 3

Beleza? A terceira integral é com aquela razão de potências de x

∫ - x 1 2 x 2 d x

Antes de sair integrando, vamos unir essas potências de x

- ∫ x 2 - 1 2 d x = - ∫ x 3 / 2 d x

Agora é só integrar

- x 3 2 + 1 3 2 + 1 = - 5 2 x 5 2 = - 5 2 x 5 2

E por fim a integral com o termo mais à direita

∫ sec 2 ⁡ x d x

Essa integral é tabelada!

= tan ⁡ x

Beleza? Agora vamos agrupar todos esses resultados!

Passo 3

Nossa integral

∫ 3 x 2 + x 3 - x 1 2 x 2 + sec 2 ⁡ x d x

A integral da soma é a soma das integrais, então vamos recuperar os resultados do passo anterior

= - 3 x + 3 4 x 4 3 - 5 2 x 5 2 + tan ⁡ x

E terminou? Ainda não! Como estamos com uma integral indefinida, precisamos colocar + C no final

= - 3 x + 3 4 x 4 3 - 5 2 x 5 2 + tan ⁡ x + C

Belezinha? É isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

- 3 x + 3 4 x 4 3 - 5 2 x 5 2 + tan ⁡ x + C

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