Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule a integral

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

No enunciado dessa questão temos apenas uma integral que temos que calcular.

A integral no caso é dada por

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x

Essa integral do jeito que veio ao mundo é muito complicada de calcular, então temos que fazer alguma coisa pra simplificar a nossa função de integração possibilitando nosso cálculo.

Tem ideia do que podemos fazer pra nos ajudar?? 🤔

Existe um método de substituição u d u que consiste em substituir uma parte ou uma função dentro da nossa função de integração pra simplificar nossa integral.

O que precisamos fazer é encontrar um meio de substituir algo na nossa integral por u e derivar esse algo para substituir d x por d u .

Bora ver como é na pratica? 😁

Passo 2

Se a gente substituir e x por u , derivando u com relação a d x , temos

d u d x = d e x d x = e x

Isolando d u , temos

d u = e x d x

Organizando nossa função de integração de modo a evidenciar e x , temos

∫ 1 e x 2 + 3 ( e x )   + 2 e x d x

Fazendo as substituições de u e d u

∫ 1 u 2 + 3 u   + 2 d u

Ainda podemos simplificar um pouquinho mais nossa integral se dividirmos nossa função em frações parciais.

Fatorando o denominador da função, temos

1 u 2 + 3 u   + 2 = 1 u + 1 u + 2

Dessa forma, dividindo em frações parciais

1 u + 1 u + 2 = A u + 1 + B u + 2

Tirando o MMC do lado direito para deixar os dois lados com o mesmo denominador

1 u + 1 u + 2 = u + 2 A + u + 1 B u + 1 u + 2

Calculando a distributiva de A e B

1 u + 1 u + 2 = A u + 2 A + B u + B u + 1 u + 2

Simplificando os denominadores

A u + 2 A + B u + B = 1

Por igualdade de polinômios, podemos dizer que os termos de mesma cor são iguais

A + B u + 2 A + B = 0 u + 1

Ou seja, temos um sistema onde

{ A + B = 0   2 A + B = 1  

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

A partir do sistema que desenvolvemos antes, podemos tirar da primeira equação que

A = - B

Substituindo essa informação na segunda equação, temos

2 - B + B = 1 → B = - 1

Portanto, temos que

{ A = 1   B = - 1  

Com isso, nossas frações parciais são

1 u + 1 u + 2 = 1 u + 1 - 1 u + 2

Dessa forma, nossa integral vai ter a seguinte cara

∫ 1 u + 1 - 1 u + 2 d u

Como a integral da soma é a soma das integrais, podemos escrever como

∫ 1 u + 1 d u - ∫ 1 u + 2 d u

Lembrando do teorema fundamental do cálculo, temos que a integral dada por

∫ C 1 x + C 2 d x = C 1 l n l n   x + C 2   + C

Onde C 1 e C 2 são constantes quaisquer.

Podemos ver algo semelhante, não é? 😉

Passo 4

Comparando com as nossas integrais, temos que para a integral de 1 u + 1

∫ 1 u + 1 d u = l n l n   u + 1   + C 1

Já para a integral da função 1 u + 2

∫ 1 u + 2 d u = l n l n   u + 2   + C 2

Juntando tudo, temos que

∫ 1 u + 1 - 1 u + 2 d u = l n l n   u + 1   - l n l n   u + 2   + C

Não podemos deixar o resultado final em função de u , então temos que substituir u por e x de volta, assim ficamos com

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x = l n l n   e x + 1   - l n l n   e x + 2   + C

Pelas propriedades de logaritmos, a diferença entre l n é igual a divisão das suas funções compostas, ou seja

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x = l n l n   e x + 1 e x + 2     + C

E esse é o resultado da nossa integral!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x = l n l n   e x + 1 e x + 2     + C

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