Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

b) Calcule a integral

∫ - 1 2 x d x

Passo 1

Eta, um módulo dentro de raiz. Eu sei que dá um calafrio ver integrais assim, mas fica tranquilo que a gente tira de letra. Vamos lembrar que uma função modular tem essa carinha:

x =   x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como os limites de integração são - 1 e 2 , pra gente considerar os intervalos x ≥ 0 e x < 0 , o truque vai ser dividir esse limite de integração em dois, saca só:

∫ - 1 2 x d x = ∫ - 1 0 x d x + ∫ 0 2 x d x

Assim a primeira integral, que tem limites de - 1 até 0 , tem limites dentro do intervalo x < 0 . Assim, vale a expressão:

∫ - 1 0 x d x = ∫ - 1 0 - x d x

E olha só olha lá: mesma ideia pra segunda integral. Os limites de 0 a 2 estão dentro do intervalo x ≥ 0 , valendo então a expressão:

∫ 0 2 x d x = ∫ 0 2 x d x

E cara, olha que dahora, sumimos com o módulo! A integral do enunciado então fica:

∫ - 1 2 x d x = ∫ - 1 0 - x d x + ∫ 0 2 x d x

E agora é só partir pra resolução de cada uma das duas integrais!

Passo 2

Vamos calcular a primeira:

∫ - 1 0 - x d x

Esse sinal de menos dentro da raiz é um pouco complicado não é? Mas a gente consegue tirar ele daí se fizermos uma substituição simples, quer ver? Dá uma olhada:

u = - x →   x = - 1   ; u = 1 x = 0   ; u = 0

d u d x =   - 1 → d x = - d u

A integral fica:

∫ - 1 0 - x d x = ∫ 1 0 - u   d u = ∫ 1 0 - u 1 2   d u

Agora é tranquilo. Valendo a regra:

∫ x a d x = x a + 1 a + 1 + C   ; s e   a ≠ - 1

Temos então:

∫ 1 0 - u 1 2   d u =   - u 1 2 + 1 1 2 + 1 u = 1 u = 0 = - 2 u 3 2 3 u = 1 u = 0

∫ 1 0 - u 1 2   d u =   - 2 0 3 2 3 - - 2 1 3 2 3 = 2 3

Passo 3

Agora pra calcular a segunda integral:

∫ 0 2 x d x = ∫ 0 2 x 1 2 d x

Basta a gente repetir a mesma regra, e vamos ficar com:

∫ 0 2 x 1 2 d x = x 1 2 + 1 1 2 + 1 x = 0 x = 2 = 2 x 3 2 3 x = 0 x = 2

∫ 0 2 x 1 2 d x = 2 . 2 3 2 3 - 2 0 3 2 3 = 4 2 3

Somando o resultado das duas integrais temos:

∫ - 1 2 x d x = ∫ - 1 0 - x d x + ∫ 0 2 x d x

∫ - 1 2 x d x = 2 3 + 4 2 3

Resposta

∫ - 1 2 x d x = 2 3 + 4 2 3

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