Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

∫ x 3 + x x - 1   d x

Passo 1

Não existe uma fórmula para calcular uma integral como essa, temos que ir tentando com nosso bom senso.

Vamos tentar separar essa integral em duas:

x 3 + x x - 1 = x 3 x - 1 + x x - 1

Então:

∫ x 3 + x x - 1 d x = ∫ x 3 x - 1 d x + ∫ x x - 1 d x

Beleza, agora temos dois problemas separados. Vamos lidar com um de cada vez.

Passo 2

Começando com a primeira integral:

∫ x 3 x - 1 d x

Tudo fica mais difícil quando temos uma soma ou subtração no denominador, então vamos tentar uma substituição:

u = x - 1         ⇒           d u d x = 1

E agora precisamos escrever o numerador em função de u , sem problemas:

u + 1 = x

u + 1 3 = x 3

Ótimo, agora nossa integral fica assim:

∫ u + 1 3 u   d u

Excelente, agora vamos abrir o parênteses do denominador:

∫ u + 1 3 u   d u = ∫ u 3 + 3 u 2 + 3 u + 1 u   d u

E agora vamos separar essa integral mais uma vez:

∫ u 3 + 3 u 2 + 3 u + 1 u   d u = ∫ u 2   d u + ∫ 3 u   d u + ∫ 3   d u + ∫ 1 u d u

Agora é só integrar esses polinômios:

∫ u 2   d u + ∫ 3 u   d u + ∫ 3   d u + ∫ 1 u d u = u 3 3 + 3 u 2 2 + 3 u + ln ⁡ | u | + C

Passo 3

Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa com a outra integral:

∫ x x - 1 d x

Tentando a mesma substituição:

u = x - 1         ⇒           d u d x = 1

x = u + 1

Então:

∫ u + 1 u d u = ∫ 1   d u + ∫ 1 u   d u

Resolvendo essa integral:

∫ 1   d u + ∫ 1 u   d u = u + ln ⁡ | u | + C

Passo 4

Agora vamos somar tudo:

I = ∫ x 3 + x x - 1 d x = ∫ x 3 x - 1 d x + ∫ x x - 1 d x

I = ∫ x 3 + x x - 1 d x = u 3 3 + 3 u 2 2 + 3 u + ln ⁡ | u | + u + ln ⁡ | u | + C

I = ∫ x 3 + x x - 1 d x = u 3 3 + 3 u 2 2 + 4 u + 2 ln ⁡ | u | + C

Vamos colocar u = x - 1 de volta:

I = ∫ x 3 + x x - 1 d x = ( x - 1 ) 3 3 + 3 ( x - 1 ) 2 2 + 4 ( x - 1 ) + 2 ln ⁡ | ( x - 1 ) | + C

E agora é só arrumar um pouco essa confusão:

( x - 1 ) 3 3 = x 2 - 2 x + 1 ( x - 1 ) 3 = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 3 = x 3 3 - x 2 + x - 1 3

3 ( x - 1 ) 2 2 = 3 2 x 2 - 2 x + 1 = 3 2 x 2 - 3 x + 3 2

Então:

I = ( x - 1 ) 3 3 + 3 ( x - 1 ) 2 2 + 4 ( x - 1 ) + 2 ln ⁡ | ( x - 1 ) | + C

I = x 3 3 - x 2 + x - 1 3 + 3 2 x 2 - 3 x + 3 2 + 4 x - 4 + 2 ln ⁡ | ( x - 1 ) | + C

E vamos juntar todos as constantes:

I = x 3 3 + x 2 2 + 2 x + 2 ln ⁡ x - 1 + C

Pronto! Resolvemos a integral.

Resposta

A integral é x 3 3 + x 2 2 + 2 x + 2 ln ⁡ x - 1 + C .

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