Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule a seguinte integral:

∫ 0 1 x 2 + x x 3 + 3 2 x 2 + 1 d x

Passo 1

Hmm... no denominador tem um x 3 e um x 2 , enquanto que no numerador tem um x 2 e um x . Isso tá com um cheirinho de substituição simples!

Saca só, vamos fazer:

u = x 3 + 3 2 x 2 + 1

Assim

d u = 3 x 2 + 3 x d x

d u = 3 x 2 + x d x

⇒ x 2 + x d x = 1 3 d u

Show, então o integrando vai ser:

x 2 + x x 3 + 3 2 x 2 + 1 d x = 1 3 u d u

Passo 2

Agora só temos que corrigir os limites de integração. Vamos ver de quanto a quanto varia u   quando x varia de 0 a 1 :

x = 0 ⇒ u = 0 3 + 3 2 . 0 2 + 1 = 1

x = 1 ⇒ u = 1 3 + 3 2 . 1 2 + 1 = 1 + 3 2 + 1

⇒ u = 7 2

Passo 3

Agora só sobrou essa integral mamatinha de calcular:

∫ 1 7 2 d u 3 u = 1 3 ∫ 1 7 2 1 u d u

Que dá:

1 3 ln ⁡ u 1 7 2 = 1 3 ln ⁡ 7 2 - ln ⁡ 1

Como ln ⁡ 1 = 0 , sobra só:

1 3 ln ⁡ 7 2

E aí está o valor da integral! :)

Resposta

1 3 ln ⁡ 7 2

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