Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2 - Calcule as seguintes integrais.

a) ∫ s e n ( 3 x ) d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos que calcular a integral de s e n 3 x , porém dessa forma que a função de integração se encontra não conseguimos calcular a derivada.

Portanto temos que aplicar algum método para facilitar nossos cálculos.

Tem ideia do que podemos fazer?? 🤔🤔

Nesse caso, podemos fazer uma mudança de variável. Esse método é o que chamamos de método de substituição.

Esse método é usado quando temos nossa variável sendo multiplicada por uma constante que nos impossibilita de aplicar o teorema fundamental do cálculo nas integrais.

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Nossa função de integração é dada por f x = s e n 3 x e temos que reescrever f x com apenas uma variável isolada dentro do seno, então vamos substituir 3 x por u . Resultando em

f u = s e n u

Ainda falta mais uma coisa a se fazer antes de calcular a integral. Nossa função é integrada em função de x mas agora vamos integrar em função de u , então temos que fazer essa mudança de d x para d u

Se 3 x = u

d u d x = d 3 x d x

Derivando pelo método de derivação polinomial, temos

d u d x = 3 x 1 - 1 = 3

Isolando d x

d u = 3 d x

d x = d u 3

Substituindo f x e d x na integral...

∫ s e n ( 3 x ) d x → ∫ s e n ( u ) d u 3  

1 3 ∫ s e n ( u ) d u

Pelo teorema fundamental do cálculo a integral do s e n u é igual a - cos ⁡ u .

Recorremos para esse teorema quando temos que integrar uma função trigonométrica ou logarítmica, por exemplo.

1 3 ∫ s e n ( u ) d u = 1 3 - c o s u + C

1 3 ∫ s e n ( u ) d u = - 1 3 c o s u + C

Temos que voltar o resultado para x , então voltamos u para 3 x .

∫ s e n ( 3 x ) d x = - 1 3 c o s 3 x + C

E essa é a integral que tínhamos que calcular! Entendeu tudo? 😉

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ s e n ( 3 x ) d x = - 1 3 c o s 3 x + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x