Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2 - Calcule as seguintes integrais.

b) ∫ x 4 + x 2 10 d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que calcular a integral de x 4 + x 2 10 mas pra isso temos que aplicar alguma técnica de integração, já que desse jeito que está não sabemos como obter essa integral!

Qual método podemos usar nesse caso?? 🤔🤔

Nesse caso, não é muito fácil de visualizar, mas se aplicarmos o método da substituição, fazendo 4 + x 2 como u , podemos simplificar bastante nossos cálculos.

Esse método consiste em substituir parte da nossa função de integração por uma variável u , de forma que ao substituir a derivada de u no lugar de d x , nossa integral fica mais simples de ser calculada.

Bora ver como é na prática? 😁

Passo 2

Se u = 4 + x 2 , então derivando u com relação a x , temos

d u d x = d 4 + x 2 d x

Derivando pelo método de derivação polinomial

d u d x = 0 + 2 x 2 - 1 = 2 x

Isolando x d x

d u = 2 x d x

d u 2 = x d x

Olhando para nossa integral, temos que

∫ x 4 + x 2 10 d x = ∫ 4 + x 2 10 x d x

Então se 4 + x 2 é igual a u e x d x é igual a d u 2 , então a integral que vamos calcular após a transformação é

∫ 4 + x 2 10 x d x → ∫ u 10 d u 2  

1 2 ∫ u 10 d u

Integrando pelo método da integração polinomial somando 1 na potência de u e dividindo u pelo resultado dessa soma, temos que

1 2 ∫ u 10 d u = 1 2 u 10 + 1 10 + 1

1 2 ∫ u 10 d u = 1 2 u 1 1 1 1

1 2 ∫ u 10 d u = u 11 22

Não podemos deixar o resultado em função de u , portanto temos que substituir u por 4 + x 2 de volta.

∫ x 4 + x 2 10 d x = 4 + x 2 11 22

E essa é a integral de x 4 + x 2 10 ! Legal, não é? 😎

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x 4 + x 2 10 d x = 4 + x 2 11 22

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