Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais:

∫ π 8 π 4 s e n 2 θ c o s 2 θ d θ

Passo 1

E aii, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…

Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??

Então bora!!

Meu povo, a questão quer que encontremos o valor da integral definida:

∫ π 8 π 4 s e n 2 θ c o s 2 θ d θ

A integral em questão é definida pois apresenta limites de integração, diferentemente da integral indefinida que não apresenta. Sendo assim, precisamos de uma estratégia para começar essa questão, quando se trata de uma integral trigonométrica é ideal tentarmos simplificar a nossa função com base nas relações trigonométricas. E aí, como poderíamos iniciar essa questão?

Passo 2

Bom, como foi dito no passo anterior devemos tentar simplificar a nossa função. A função que temos é o produto do seno ao quadrado pelo cosseno ao quadrado. Vamos utilizar a seguinte relação:

s e n   x ⋅ cos ⁡ x = 1 2 s e n   ( 2 x )

Elevando ao quadrado essa expressão, uma vez que a nossa questão é ao quadrado.

s e n 2 x ⋅ c o s 2 x = 1 4 s e n ² ( 2 x )

E como s e n ² x é

s e n 2 x = 1 2 1 - c o s   2 x

Podemos concluir que

s e n 2 θ ⋅ c o s 2 θ = 1 4 ⋅ 1 2 ( 1 - cos ⁡ 4 θ )

= 1 8 ( 1 - cos ⁡ 4 θ )

Assim, a nossa integral vai ser

∫ π 8 π 4 1 8 ( 1 - cos ⁡ 4 θ ) d θ

1 8 ∫ π 8 π 4 ( 1 - cos ⁡ 4 θ ) d θ

De acordo com a propriedade de soma de integrais:

1 8 ∫ π 8 π 4 d θ - ∫ π 8 π 4 cos ⁡ 4 θ d θ  

Agora vamos resolver cada uma das integrais...

Passo 3

Sendo,

∫ π 8 π 4 d θ = θ

E para encontrarmos ∫ cos ⁡ 4 θ d θ vamos utilizar a técnica de substituição.

u = 4 θ

d u = 4 d θ

d θ = d u 4

Portanto a nossa integral terá a seguinte cara:

∫ π 8 π 4 cos ⁡ 4 θ d θ = ∫ π 8 π 4 c o s     u d u 4

= 1 4 ∫ cos ⁡ u   d u

= 1 4 s e n ( u )

Como u = 4 θ :

= 1 4 s e n   ( 4 θ )

Logo,

1 8 ∫ π 8 π 4 d θ - ∫ π 8 π 4 cos ⁡ 4 θ d θ = 1 8 θ - 1 4 s e n ( 4 θ ) ​ π 8 π 4

Passo 4

Aplicando os limites de integração...

1 8   π 4 - 1 4 s e n ( 4 ⋅ π 4 ) -   1 8   π 8 - 1 4 s e n ( 4 ⋅ π 8 )

= π 32 - π 64 + 1 32

= π + 2 64

Showw?! Bora treinar mais!

Resposta

π + 2 64

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x