Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais definidas:

a)

∫ 1 2 e 1 t t 2   d t  

Passo 1

Oiiii, é sempre um prazer encontrar com vocês aqui! Prontinhos para mais um exercício???

Nessa questãozinha de prova temos que encontrar o valor da integral definida:

∫ 1 2 e 1 t t 2   d t  

Opaaa, como estamos trabalhando com integrais definidas agora. A resposta em questão será um valor numérico e não mais uma função primitiva como tínhamos quando estávamos resolvendo integrais indefinidas. Tudo ok?

Show! Então como vamos resolver essa integral??

Passo 2

Em integrais, existem diversos métodos e estratégias para se resolver integrais tanto definidas quanto indefinidas. Cabe a nós encontrarmos o método/estratégia que se aplica melhor de acordo com a minha função f ( x ) .

Sendo

∫ x 1 x 2 f ( x ) d x

Onde,

f ( x ) : É uma função conhecida;

x 1 e   x 2 : São os limites de integração da minha integral;

Como na função da nossa questão possui o termo e 1 t é legal tentarmos substituir esse 1 t por uma letrinha para facilitar nossos cálculos. Assim, primeiramente utilizaremos o método da substituição.

u = 1 t

Precisamos encontrar o valor de d u também. Galerinha, assim que eu comecei a estudar esse método ficava na dúvida se precisava encontrar sempre a derivada da letrinha a qual eu estava substituindo. E sim, sempre precisa! Porque precisamos “eliminar” os resquícios dos termos anteriores, então é fundamental já ter isso em mente.

Logo,

d u = ( t - 1 ) '  

E como para encontrarmos a derivada de uma função polinomial utilizamos a seguinte estratégia:

y = x n

d y = n x n - 1   d x  

Temos que:

d u =   - 1 t - 2 d t

d u =   - 1 t - 2   d t

Passo 3

Agora vamos substituir esses termos na nossa integral:

∫ t =   1 t =   2 e 1 t t ²   d t   =   ∫ t =   1 t =   2 e u ( - d u )  

E como fizemos a substituição de 1 t para u , é necessário também fazer essa substituição para os limites de integração, uma vez que a princípio esses valores se referem a t e não a u .

Para t = 1 :

u = 1 t

u = 1 1

u = 1  

Para t = 2 :

u = 1 t

u = 1 2

Agora, vamos reescrever a nossa integral definida.

∫ t   =   1 t   =   2 e 1 t t ²   d t   =   ∫ u   =   1 u   =   1 2 e u ( - d u )  

Passo 4

Resolvendo a nossa integral, temos que:

∫ t   =   1 t   =   2 e 1 t t ²   d t   =   - ∫ u   =   1 u   =   1 2 e u d u  

=   - [ e u ] | 1 1 / 2

Agora precisamos aplicar os limites de integração!!! Essa parte segue a seguinte lógica:

∫ a b f x = F b - F ( a )

Onde,

f ( x ) : É a função a se integrar (função do enunciado);

a : Limite inferior de interação;

b : Limite superior de integração;

F ( x ) : É a função primitiva (Que encontramos antes de aplicar os limites de integração);

Portanto,

∫ t   =   1 t   =   2 e 1 t t ²   d t   =   - e 1 / 2 -   e 1

=   e - e

Vejam que como temos uma integral definida não se tem mais a necessidade de colocar a constante de integração, já que a solução é única.

Tudo certo?? Ótimo!

Bora fazer mais questões de integrais definidas!

Resposta

e - e

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x