Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais definidas:

b)

∫ 0 π 2 s e n 5 θ   d θ  

Passo 1

Hellooo, gente bonita! Bora responder essa questão de prova? Sim, isso mesmo caiu uma dessas em uma prova da UFPE e também pode cair na sua. Então vamos garantir o 10!!!

Temos nessa questão que calcular o valor da integral definida:

∫ 0 π 2 s e n 5 θ   d θ  

Bom, mas o que é uma integral definida?? A integral definida de maneira geral é uma operação matemática que nos permite calcular a área sob uma curva, ou seja, conseguimos calcular a área de figuras bem diferentonas!

Então,

∫ x 1 x 2 f ( x ) d x

Onde,

f ( x ) : É uma função conhecida;

x 1 e   x 2 : São os limites de integração da minha integral;

A nossa questão trouxe como f ( x ) o s e n 5 θ e como é meio complicado determinar de cara qual será a integral dessa belezura de função é necessário utilizarmos alguns métodos/ estratégias. A princípio vamos começar manipulando matematicamente essa função seno.

De acordo com a relação fundamental da trigonometria,

s e n ² θ + c o s ² θ = 1

s e n ² θ = 1 - c o s 2 θ

Assim,

s e n 5 θ = 1 - c o s 2 θ ² s e n θ

Caso não tenha dado para perceber ainda estamos fazendo essas manipulações com o intuito de achar uma expressão mais legalzinha de ser trabalhada. Desse modo, vamos substituir o resultado encontrado na nossa integral.

∫ 0 π 2 s e n 5 θ   d θ   = ∫ 0 π 2 1 - c o s 2 θ ² s e n θ d θ        

Bom galerinha, o ponta pé inicial já foi dado! Agora seria bem legal que vocês tentassem desenvolver sozinhos a partir daqui. Nos encontramos nos próximos passos para conferirmos o resultado. Ok?

Passo 2

Como a nossa expressão ainda não tá tão fácil de ser trabalhada é legal tentarmos utilizar o método da substituição para encontrarmos algo da nossa zona de conforto, o que vocês acham??

Então,

z = cos ⁡ θ

Derivando...

d z = ( cos ⁡ θ ) '

d z = - s e n   θ   d θ  

Show! Agora vamos substituir os resultados obtidos até então na nossa integral.

∫ 0 π 2 1 - c o s 2 θ 2 s e n θ d θ   = ∫ θ = 0 θ = π 2 1 - z 2 2 - d z

=   ∫ θ = 0 θ = π 2 1 - 2 ( z 2 ) + ( z 2 ) ² - d z

Lembrando que constantes multiplicativas podem ser retiradas da integral sem comprometer o seu resultado final! Isso é uma propriedade das integrais.

= - ∫ θ = 0 θ = π 2 1 - 2 z ² + z 4 d z

Além disso, como utilizamos o método da substituição para a nossa função inicial é importante substituirmos também os limites de integração, uma vez que esses se referiam a variável θ e agora estamos trabalhando com a variável z .

Sendo assim,

Para o limite de integração inferior θ = 0 :

z = cos ⁡ θ

z = cos ⁡ 0

z = 1

Para o limite de integração superior θ = π 2 :

z = cos ⁡ θ

z = cos ⁡ π 2

z = 0

Logo,

- ∫ θ = 0 θ = π 2 1 - 2 z 2 + z 4 d z =   - ∫ z = 1 z = 0 1 - 2 z ² + z 4 d z

Aqui é possível utilizarmos mais uma propriedade referente agora aos limites de integração. Essa propriedade diz basicamente que é possível inverter os limites de integração se multiplicarmos a integral toda por - 1 .

- ∫ z = 1 z = 0 1 - 2 z ² + z 4 d z = ∫ z = 0 z = 1 1 - 2 z 2 + z 4 d z

Passo 3

Então pimpolhos, precisamos agora encontrar o valor de:

∫ z = 0 z = 1 1 - 2 z 2 + z 4 d z

E para isso vamos utilizar o seguinte macete:

∫ x n d x = x n + 1   n + 1

Reescrevendo nossa integral...

∫ z = 0 z = 1 1 - 2 z 2 + z 4 d z = z - 2   z 2 + 1 2 + 1 + z 4 + 1 4 + 1 0 1

= z - 2 3 z 3 + z 5 5 0 1

Maravilha! Agora as coisas tão mais agradáveis!

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, precisamos aplicar os limites de integração, já que nossa integral é definida!

A aplicação dos limites de integração não é tãoooo complicada, basta seguirmos a seguinte ideia:

∫ a b f x = F b - F ( a )

Belezinha? Então até então temos essa função " F " e precisamos apenas substituir os valores de cada limite de integração. Bora lá!

z - 2 3 z 3 + z 5 5 0 1 = ( 1 ) - 2 3 ( 1 ) 3 + ( 1 ) 5 5 - ( 0 ) - 2 3 ( 0 ) 3 + ( 0 ) 5 5

= 1 - 2 3 + 1 5

= 8 15

Conclui-se com isso que:

∫ 0 π 2 s e n 5 θ   d θ   = 8 15

Portanto meu povo, vimos algumas formas de resolver integrais definidas, mas é sempre importante ver e resolver o máximo de questões possíveis, então cuida e não vacila.

Beijinhos e até mais!

Resposta

8 15

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