Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais definidas:

d) ∫ 0 1 x x 2 - 1 99 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral definida da função f x = x x 2 - 1 99 no intervalo de 0 a 1 .

Pra isso, vamos buscar sempre simplificar a função pra cair em uma forma polinominal que a gente consiga integrar usando a regrinha da potência:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vamos lá!

Passo 2

Vamos escrever nossa integral:

∫ 0 1 x x 2 - 1 99 d x

Repare que fica complicado a gente abrir esse produto com uma potência tão grande, né? Então, o que podemos fazer pra facilitar nossa vida é uma substituição do tipo:

u = x 2 - 1

Dessa forma:

d u = 2 x   d x → x d x = d u 2

q u a n d o   x = 0 → u = - 1

q u a n d o   x = 1 → u = 0

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 1 x x 2 - 1 99 d x

= 1 2 ∫ - 1 0 u 99 d u

E aí podemos aplicar a regrinha da potência:

1 2 u 99 + 1 99 + 1 - 1 0 = 1 2 u 100 100 - 1 0

Aplicando os intervalos de integração:

1 2 0 100 100 - - 1 100 100

= 1 2 - 1 100 = - 1 200

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 1 2 00

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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