Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule as seguintes primitivas:

b )   ∫ x 3 x 2 + 9   d x

Passo 1

Bom dia, boa tarde e boa noiteeee! Xuxus, essa questão é um pouco mais complicadinha, mas, eu vou te ajudar a tornar tudo mais fácil. Bora!

Temos que calcular a função primitiva da integral ∫ x 3 x 2 + 9   d x . Tá mais o que é essa primitiva??

Bom, quando temos uma integral indefinida o seu resultado é representado por uma função que chamamos de “primitiva” e não por um valor numérico.

∫ f x d x = g x + C

Onde,

f x : É uma função conhecida, nessa questão é x 3 x 2 + 9 ;

g x + C : É a primitiva de f ( x ) ;

Então nessa questão devemos justamente encontrar a nossa função primitiva correspondente. Tranquilinho?! E como poderemos encontrar essa função??

Passo 2

Galera, essa questão é uma viagem hahaha! Porque vamos ter que utilizar a técnica de substituição para facilitar nossos cálculos, mas, nós temos que encontrar uma maneira de relacionar a raiz x 2 + 9 com o x . E a viagem se encontra no fato desses valores serem as medidas dos lados de um triângulo retângulo.

Sim, eu sei! É difícil pensar nisso, essa é uma das sacadas que deixam a questão bem complicada.

Bom, avaliando o triângulo temos que:

t g   θ = x 3

x = 3   t g   θ

Derivando esse x , porque precisamos substituir o d x por alguma expressão:

d x = ( 3   t g   θ ) '  

d x = 3   s e c ² θ   d θ

E como queremos também trocar aquela raiz feia ali por algo mais fácil de trabalhar. Bora fazer umas manipulações matemáticas.

x = 3   t g   θ

x ² = 9   t g   θ ²

x ² + 9 = 9   t g   θ ² + 9

x ² + 9 = 9   ( t g   θ 2 + 1 )

E como s e c ² θ = 1 + t g ² θ :

x ² + 9 = 9   ( s e c 2 θ )

x ² + 9 = 9 ( s e c 2 θ )

x 2 + 9 = 3 s e c s e c   θ  

Então pessoal , essa conta toda foi para conseguirmos substituir os termos da nossa integral, vamos montar essa com essa nova roupagem.

Passo 3

Substituindo os termos da nossa integral,

∫ x ³ x ² + 9   d x = ∫ 3   t g   θ 3 ⋅ ( 3 s e c s e c   θ ) ⋅ ( 3   s e c 2 θ   d θ )    

= 3 5 ∫   t g   θ 3 ⋅ ( )  

E como as funções tangente e secante são determinadas a partir do cosseno e seno, vamos passar nossa expressão para essas funções mais básicas.

Lembrando que

t g   θ = s e n   θ c o s c o s   θ  

s e c s e c   θ = 1 c o s c o s   θ    

Então,

∫ x ³ x ² + 9   d x = 3 5 ∫   s e n   θ c o s c o s   θ   3 ⋅ 1 θ   )  

= 3 5 ∫ s e n ³ θ ⋅ θ   )  

E a partir da equação trigonométrica fundamental conseguiremos substituir a função seno e passaremos a trabalhar apenas com a função cosseno.

s e n ² θ = 1 - c o s 2 θ

Multiplicando ambos por s e n   θ , uma vez que precisamos do valor de s e n ³   θ .

s e n ³ θ = 1 - c o s 2 θ s e n   θ

Agora, voltemos para a nossa expressão da integral. Substituindo s e n ³ θ por 1 - c o s 2 θ s e n   θ . Temos o seguinte,

∫ x ³ x ² + 9   d x = 3 5 ∫ s e n ³ θ ⋅ θ   )  

∫ x ³ x ² + 9   d x =   3 5 ∫ θ   )  

Passo 4

Vamos ter que utilizar novamente o método da substituição para conseguirmos prosseguir em nossa questão.

Logo,

u = c o s c o s   θ  

Então,

d u =   - s e n   θ   d θ

Portanto, a nossa integral vai mudar de cara novamente. Pessoal, entendo que esteja um tanto cansativo esse problema. No entanto, juro que é para facilitar os cálculos hahaha.

∫ x ³ x ² + 9   d x =   3 5 ∫ θ   )  

Substituindo os termos por u   e   d u :

=   3 5 ∫ u - 6 )  

= -   3 5 ∫ u - 6 -   u - 4   d u  

Agora vamos aplicar uma propriedade das integrais para a subtração de funções. Já que

∫ g x - f x = ∫ g x - ∫ f ( x )

Dessa forma,

∫ x ³ x ² + 9   d x =   = -   3 5 ∫ (   u - 6   d u ) - ∫ (   u - 4   d u )

Utilizando o seguinte macete para encontrar o valor das integrais para funções polinomiais:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Encontramos que a integral acima terá o seguinte valor:

∫ x ³ x ² + 9   d x =   -   3 5 u - 6 + 1 - 6 + 1 - u - 4 + 1 - 4 + 1

= -   3 5 u - 5 - 5 - u - 3 - 3 + C

Passo 5

Bom, utilizamos a regra da substituição algumas vezes nesse problema sendo assim é preciso voltar para a variável que tínhamos no início de tudo.

Como,

u = c o s c o s   θ  

E

Podemos concluir que

u = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

u = 3 x ² + 9

u = 3 x 2 + 9 - 1 2

Basta então, substituímos esse valor de u no resultado da integral que obtemos no passo anterior.

∫ x ³ x ² + 9   d x =   -   3 5 u - 5 - 5 - u - 3 - 3 + C

=   -   3 5 ( 3 x 2 + 9 - 1 2 ) - 5 - 5 - ( 3 x 2 + 9 - 1 2 ) - 3 - 3 + C

=     -   3 5 - 3 - 5 x 2 + 9 5 / 2 5 + 3 - 3 x 2 + 9 3 / 2   3 + C

= 3 5 ⋅ 3 - 5 x 2 + 9 5 / 2 5 - 3 5 ⋅ 3 - 3 x 2 + 9 3 / 2   3 + C

= x 2 + 9 5 / 2 5 - 3 2 x 2 + 9 3 / 2   3 + C

= x 2 + 9 5 / 2 5 - 3 x 2 + 9 3 / 2   + C

Passo 6

Por fim, colocando x 2 + 9 3 / 2   em evidência. Obtemos um resultado mais agradável.

∫ x ³ x ² + 9   d x = x 2 + 9 5 / 2 5 - 3 x 2 + 9 3 / 2   + C

= x 2 + 9 3 / 2   x 2 + 9 5 - 3 + C

= x 2 + 9 3 / 2   x 2 + 9 - 15 5 + C

= x 2 + 9 3 / 2   x ² - 6 5 + C

= 1 5 x 2 + 9 3 2 ( x 2 - 6 ) + C

E até que fim, encontramos o nosso resultado. Então o que eu quero que vocês tirem dessa questão é resolver integrais indefinidas e a pensar fora da caixinha na hora de tentar resolver. Porque às vezes sabemos aplicar todos os métodos de resolução, entretanto, não conseguimos enxergar de maneira tão simples algumas substituições.

Então, é isso! Se cuidem e bons estudos ☺

Resposta

1 5 x 2 + 9 3 2 ( x 2 - 6 ) + C  

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