Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule:

u )   ∫ sinh ⁡ ln ⁡ x x d x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Nesta questão iremos utilizar a forma exponencial do seno hiperbólico, e, através de propriedades do logaritmo e exponencial, obter expressões que podem ser identificadas em termos de primitivas! Bora lá!!

Passo 2

Para começar vamos relembrar a seguinte maneira de representar um seno hiperbólico:

sinh ⁡ ( x ) = 1 2 ( e x - e - x )

Porquê isso é útil??? Devido a seguinte propriedade:

e ln ⁡ ( f ( x ) ) = f ( x )

Entendeu o que vamos fazer? Segue comigo!!

Passo 3

Vamos substituir em nosso integrando o nosso seno hiperbólico pela sua definição em termos de exponenciais, temos que:

∫ sinh ⁡ ln ⁡ x x d x = 1 2 ∫ 1 x e ln ⁡ x - e - ln ⁡ x d x = 1 2 ∫ e ln ⁡ x x d x - 1 2 ∫ 1 x e ln ⁡ x d x

Ou seja, resumindo, temos:

∫ sinh ⁡ ln ⁡ x x d x = 1 2 ∫ d x - 1 2 ∫ 1 x 2 d x

Sabe o que fazer a partir daqui? Bora bora!

Passo 4

Se lembrarmos das seguintes primitivas:

∫ d x = x + C

E também:

∫ x - 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - x - 1 + C = - 1 x + C

Temos nossa solução como:

∫ sinh ⁡ ln ⁡ x x d x = 1 2 x - 1 x + C

Mais uma alternativa já era! Bora para a próxima Hehehehe!

Resposta

∫ sinh ⁡ ln ⁡ x x d x = 1 2 x - 1 x + C

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