Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 454123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Calcule:

l )   ∫ tan 2 ⁡ ( 2 t ) sec 4 ⁡ ( 2 t ) d t

Passo 1

Mais uma! Bora lá!!

Para essa integral vamos utilizar uma relação trigonométrica que irá permitir que apliquemos uma substituição simples em nosso integrando, de forma a obter algumas integrais identificáveis em termos de primitivas! Sigam-me os bons!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é utilizar a seguinte relação trigonométrica:

tan 2 ⁡ 2 t + 1 = sec 2 ⁡ 2 t

De forma que temos:

∫ tan 2 ⁡ 2 t sec 4 ⁡ 2 t d t = ∫ tan 2 ⁡ 2 t tan 2 ⁡ 2 t + 1 sec 2 ⁡ 2 t d t = ∫ tan 4 ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t + ∫ tan 2   ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t

Por incrível que pareça, ambas estas integrais podem ser resolvidas por substituição simples! Saca só!

Passo 3

Temos que fazendo a substituição u = tan ⁡ ( 2 t ) e d u = 2 sec 2 ⁡ ( 2 t ) d t , obtendo:

∫ tan 4 ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t + ∫ tan 2   ⁡ 2 t sec 2 ⁡ 2 t d t = 1 2 ∫ u 4 d u + 1 2 ∫ u 2 d u

Aqui precisamos identificar algumas primitivas, belezinha?

Passo 4

Vamos utilizar o seguinte:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Para a primeira integral temos n = 4 e para a segunda temos n = 2 , portanto:

1 2 ∫ u 4 d u + 1 2 ∫ u 2 d u = u 5 10 + u 3 6 + C

Que em nossa variável original é:

∫ tan 2 ⁡ ( 2 t ) sec 4 ⁡ ( 2 t ) d t = tan 5 ⁡ 2 t 10 + tan 3 ⁡ 2 t 6 + C

Mais uma alternativa já era! Estamos com tudo! Bora Bora!!! Até jajá!

Resposta

∫ tan 2 ⁡ ( 2 t ) sec 4 ⁡ ( 2 t ) d t = tan 5 ⁡ 2 t 10 + tan 3 ⁡ 2 t 6 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x