Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação x 2 3   +   y 2 3   =   a 2 3 e tal que as seções transversais por planos paralelos ao plano O x z são quadrados.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule o volume do sólido cuja base é a astróide de equação x 2 3   +   y 2 3   =   a 2 3 .

Lembrando que a figura da astróide é a seguinte:

Além disso, a questão nos diz que as seções transversais por planos paralelos ao plano O x z são quadrados.

Nesse sentido, como estamos trabalhando com seções transversais (planos) perpendiculares a um dos eixos coordenados, usamos a seguinte fórmula para o volume V :

V = ∫ a b A x d x

Onde A x é a área da base.

Agora vamos juntos!!

😉

Passo 2

Então... vamos primeiro reorganizar nossa equação da seguinte forma:

x 2 3   +   y 2 3   =   a 2 3 ∴

y = a 2 3 - x 2 3 3 2

Assim, podemos calcular A x utilizando como base a área do quadrado:

A x = y 2 ∴

A x = a 2 3 - x 2 3 3 2 2 ∴

A x = a 2 3 - x 2 3 3

Agora já podemos calcular nosso volume!!

Passo 3

Agora, podemos calcular parte do volume desse sólido apenas no primeiro octante e multiplicar por quatro, já que há uma simetria.

No entanto, não podemos esquecer também se o intervalo de x varia de - a   <   x   <   a , e queremos calcular o volume somente no primeiro octante devemos multiplicar por dois e considerar os seguintes limites de integração 0   <   x   <   a .

Nesse sentido, temos:

V = 4 * 2 * ∫ 0 a a 2 3 - x 2 3 3 d x ∴

Expandindo o cubo, obtemos:

V = 8 * ∫ 0 a a 2 - 3 a 4 3 x 2 3 + 3 a 2 3 x 4 3 - x 2 d x ∴

Aplicando a regra da potência, resolvemos a integral:

V = 8 a 2 x - 9 a 4 3 x 5 3 5 + 9 a 2 3 x 7 3 7 - x 3 3 a 0 ∴

Por fim, aplicando os limites de integração, temos:

V = 8 a 3 - 9 a 3 5 + 9 a 3 7 - a 3 3 ∴

V = 128 a 3 105

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = 128 a 3 105

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