Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 121123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Encontre a expressão que define a função f , cujo gráfico contém o ponto 4 , 5 3 e cuja derivada é

f ' x = x ( 2 x - 1 )

Passo 1

Basicamente, a questão quer que achemos a função que gerou a derivada f ' . Ou seja, ela quer a primitiva de f ' e isso pode ser obtido fazendo uma integração. Olha só:

∫ x ( 2 x - 1 )   d x

Como vamos resolver isso?

Podemos fazer a substituição

u = x ⟶ x = u ²

d u = d x 2 x ⟶ d x = 2 x d u = 2 u   d u

Então

∫ u 2 u - 1 ( - 2 u )   d u  

2 ∫ u ² 2 u - 1 d u

2 ∫ 2 u 3 - u 2 d u = 2 2 u 4 4 - u 3 3 + C = u 4 - 2 u 3 3 + C

Voltando para a variável original

x 4 - 2 x 3 3 + C = x 2 - 2 x 3 2 3 + C

Como o enunciado nos deu o ponto 4 , 5 3 pelo qual a função encontrada passa, podemos descobrir o valor de C substituindo esse ponto.

5 3 = 4 2 - 2 . 4 3 2 3 + C

C = 5 3 - 32 3 = - 27 3 = - 9

Portanto, a expressão que define a função f , cujo gráfico contém o ponto 4 , 5 3 é

f x = x 2 - 2 x 3 2 3 - 9

Resposta

f x = x 2 - 2 x 3 2 3 - 9

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x