Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Encontre a integral indefinida

f. ∫ s e n x 1 + cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ s e n x 1 + c o s ( 2 x ) d x De cara, fica difícil ver uma forma de aplicar a Técnica da Substituição. Então vamos, primeiramente, simplificar a fração dentro da integral usando as seguintes identidades

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1  

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

Reescrevendo a integral ela fica

∫ s e n x s e n 2 x + cos 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x - s e n 2 x d x = ∫ s e n x 2 ∙ cos 2 ⁡ x   d x

Essa nova forma da integral nos permite visualizar como aplicar a técnica. Tomando u = c o s x temos

d u = - s e n x ∙ d x

⇒ - d u = s e n x ∙ d x

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ s e n x 2 ∙ cos 2 ⁡ x   d x = ∫ - 1 u 2 ∙ 2 d u

= - 1 2 ∫ 1 u 2 d u

= - 1 2 ∫ u - 2 d u

= - 1 2 u - 1 - 1

= u - 1 2

= 1 2 u

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original x. Logo,

1 2 u = 1 2 ∙ c o s x E,

∫ s e n x 1 + c o s ( 2 x ) d x = 1 2 ∙ c o s x + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso, com simplicidade e um pouco de criatividade. Poje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

c. ∫ s e n x 1 + c o s ( 2 x ) d x = 1 2 ∙ c o s x + C

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