Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

8)

∫ e x + e 2 x + e 3 x e 4 x d x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá!

Passo 2

∫ e x + e 2 x + e 3 x e 4 x d x

Essa integral pode ser mais fácil se a gente simplificar um pouco essa função que estamos integrando separando esses exponenciais:

∫ e x + e 2 x + e 3 x e 4 x d x = ∫ e x e 4 x + e 2 x e 4 x + e 3 x e 4 x d x =

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x =

Passo 3

Bem mais simples, neh? Agora separando a integral...

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = ∫ e - 3 x   d x + ∫ e - 2 x   d x + ∫ e - x   d x

Calculando a primeira delas fazendo uma substituição...

- 3 x = a     →         d a = - 3 d x       →

d x = - d a 3

Substituindo na primeira que é quem estamos fazendo...

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = ∫ e a   - d a 3 + ∫ e - 2 x   d x + ∫ e - x   d x

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - 1 3 ∫ e a   d a + ∫ e - 2 x   d x + ∫ e - x   d x

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - 1 3 e a + ∫ e - 2 x   d x + ∫ e - x   d x

Voltando para x ...

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 + ∫ e - 2 x   d x + ∫ e - x   d x

Passo 4

Agora calculemos a segunda integral ali pelo mesmo processo...

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 + ∫ e - 2 x   d x + ∫ e - x   d x

Chamando - 2 x de b ...

- 2 x = b       →               d b = - 2 d x           →               d x = - d b 2

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 + ∫ e b   - d b 2 + ∫ e - x   d x

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 - 1 2 ∫ e b   d b + ∫ e - x   d x

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 - e b 2 + ∫ e - x   d x

Voltando com a variável x ...

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 - e - 2 x 2 + ∫ e - x   d x

Passo 5

Acho que você já percebeu o que está acontecendo, neh? A integral desse tipo de exponencial é a exponencial, mas dividido pelo número que multiplica o x . Então a última integral será por indução...

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 - e - 2 x 2 + ∫ e - x   d x   →

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - e - 3 x 3 - e - 2 x 2 - e - x 1 + C

Onde C é a constante de integração;)

∫ e - 3 x + e - 2 x + e - x   d x = - 1 6 2 e - 3 x + 3 e - 2 x + 6 e - x + C

Resposta

- 1 6 2 e - 3 x + 3 e - 2 x + 6 e - x + C

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x