Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Em geral, a regra da substituição de variável não aparece nas tabelas de integrais. Precisamos saber que uma integral em uma determinada variável (por exemplo x) pode ser escrita em uma outra variável (por exemplo u) se fizermos todas as substituições na função a ser integrada e também no termo d x . Como exemplo, considere u   =   1   +   l n   x .

  1. Calcule a derivada de u
  2. Escreva d u em função de x e d x
  3. Escreva d x em termos de d u e x
  4. Escreva x em função de u
  5. Escreva d u em termos de u e d x
  6. Escreva d x em termos de d u e u

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Tem vários passinhos e vamos seguir um a um!

Foi nos dado essa substituição u :

u = 1 + ln ⁡ x

Precisamos calcular a derivada, então vamos lá:

Letra (a): a derivada de u é:

u ' = 1 x

Mas podemos escrever u ' como

d u d x

Então a derivada de u fica:

d u d x = 1 x

Beleza até aqui?

Passo 2

Letra (b): Escreva d u em função de x e d x

Agora vamos usar a derivada que encontramos no item anterior para escrever d u em função do que é pedido

d u d x = 1 x

Isolando d u temos:

d u = 1 x d x

Beleza?

Passo 3

Letra (c): Escreva d x em termos de d u e x

Agora precisamos isolar o d x !

Da expressão para a derivada:

d u d x = 1 x

Isolando temos:

1 . d x = x   d u

d x = x   d u

Passo 4

Letra (d): Escreva x em função de u

nossa função u era:

u = 1 + ln ⁡ x

E agora o problema pediu para escrevermos x em função de u , isso significa isolar x !

Agora a ideia é isolar x :

u - 1 = ln ⁡ x

x = e u - 1

E é isso aí! Vamos para a próxima letra?

Passo 5

Letra (e): Escreva d u em termos de u e d x

Vamos relembrar quem era nosso d u ? Lá da letra (b):

d u = 1 x d x

Mas agora sabemos qual é a expressão de x em função de u , então é só substituir:

x = e u - 1

d u = 1 e u - 1 d x

d u = e 1 - u d x

Tranquilo? Estamos quase no fim!

Passo 6

Letra (f): Escreva d x em termos de d u e u

E por fim o problema nos pede para escrever d x em termos de d u e u . Vamos resgatar lá da letra (c) a expressão do d x :

d x = x   d u

E queremos escrever ele em função só de u e d u , então vamos usar a expressão de x para u :

x = e u - 1

E substituir em d x :

d x = e u - 1 d u

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a ) d u d x = 1 x

b ) d u = 1 x d x

c ) d x = x   d u

d ) x = e u - 1

e ) d u = e 1 - u d x

f ) d x = e u - 1 d u

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