Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Em geral, a regra da substituição de variável não aparece nas tabelas de integrais. Precisamos saber que uma integral em uma determinada variável (por exemplo x) pode ser escrita em uma outra variável (por exemplo u) se fizermos todas as substituições na função a ser integrada e também no termo d x . Como exemplo, considere u   =   1   +   l n   x .

  1. Refaça todos os itens iniciando pela expressão obtida no item (d)

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Essa é uma continuação! E para fazer, precisamos resgatar os itens anteriores (da letra a até f) e o resultado obtido em (d). então vamos começar por aí!

Os itens são esses:

E a expressão que vamos utilizar é a

x = e u - 1

E seguir os passos!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Primeira coisa a se fazer é calcular a derivada de u : é uma derivação implícita!

x = e u - 1

Aplicando o operador derivada dos dois lados:

d d x x = d d x e u - 1

1 = e u - 1 d u d x

E isolando d u / d x temos:

d u d x = 1 e u - 1

Beleza? Essa é a derivada!

Passo 3

Agora queremos calcular o segundo item:

Escrever d u em função de x e d x é isolar d u (e ter só x e d x ):

d u d x = 1 e u - 1

Isolando d u :

d u = d x e u - 1

Mas quem é e u - 1 ? É x ! Então d u fica:

d u = d x x

Próximo item!

Passo 4

Para escrever d x em função de d u e x podemos usar o resultado do item anterior!

d u = d x x

Isso porque temos uma relação nas variáveis que queremos! Escrever d x é isolar ele:

d x = x   d u

E é isso!

Passo 5

O próximo item a ser resolvido é:

x em função de u :

x = e u - 1

E já temos essa expressão! Não é preciso fazer nada, já temos x como função de u !

Passo 6

O próximo item é escrever d u em termos de u e d x .

Vamos resgatar a expressão da derivada lá do segundo passo:

d u d x = 1 e u - 1

E isolar d u :

d u = d x e u - 1

Prontinho! Temos d u como função de d x e de u .

Agora vamos para o último item!

Passo 7

Por fim precisamos escrever d x em termos de d u   e u . Então podemos usar a mesma expressão do passo anterior, mas agora isolar d x :

d u d x = 1 e u - 1

1 . d x = e u - 1 d u

d x = e u - 1 d u

E é isso! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d u d x = 1 e u - 1

d u = d x x

d x = x   d u

x = e u - 1

d u = d x e u - 1

d x = e u - 1 d u

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