Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Se necessário, reescreva os integrandos de forma adequada para calcular as seguintes integrais, usando a tabela. Em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas

(e)  ∫ e x + 4 e x d x

Passo 1

Para calcular a integral ∫ e x + 4 e x d x , podemos simplificar a fração no integrando e, em seguida, usar as propriedades da integral. Vamos resolver passo a passo:Passo 1: Simplificando a fração, temos:

e x + 4 e x = e x e x + 4 e x = 1 + 4 e - x

Passo 2

Passo 2: Agora, podemos calcular a integral da função 1 + 4 e - x :

∫   1 + 4 e - x d x = ∫   1 d x + ∫   4 e - x d x

Passo 3

Passo 3: A integral de uma constante c em relação a x é c x + C 1 , onde C 1 é a constante de integração. A integral da função exponencial e - x em relação a x é - e - x + C 2 , onde C 2 é outra constante de integração.

Passo 4

Passo 4: Aplicando as propriedades de integração, temos:

∫   1 + 4 e - x d x = x + - 4 e - x + C = x - 4 e - x + C

onde C = C 1 + C 2 é a constante de integração.

Resposta

A integral ∫ e x + 4 e x d x é dada por:

∫   e x + 4 e x d x = x - 4 e - x + C

onde C é a constante de integração.Agora, vamos derivar a expressão obtida para confirmar o resultado:

d d x x - 4 e - x + C = 1 + 4 e - x

Comparando com o integrando original e x + 4 e x , vemos que a derivada é igual ao integrando original. Portanto, a resposta está correta.

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