Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Uma partícula de massa m > 0 se move retilineamente sob a ação de uma força F que é proporcional à velocidade v ( t ) da partícula e atua em sentido contrário ao deslocamento. Desse modo F =   - k v ( t ) , com k > 0 constante. Supondo que v 0 = v 0 > 0 resolva os itens a seguir.

a ) De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos que F = m v ' ( t ) , em que v ' ( t ) é a aceleração da partícula. Usando essa informação e a expressão para F dada no enunciado, obtenha a equação que relaciona m , k , v ( t ) e v ' ( t ) .

b ) Lembrando que a derivada de l n ⁡ ( v ( t ) ) é igual a v ' ( t ) / v ( t ) , use o item anterior para obter v ( t ) em termos de v 0 , k e m .

c ) Determine o espaço s ( t ) percorrido pela partícula até o instante t , supondo s 0 = 0 .

d ) Calcule a distância total d percorrida pela partícula, dada por d = lim t → ∞ ⁡ s ( t ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

O enunciado trás para gente um problema clássico de uma partícula que se move em linha reta e sofre a ação de uma força dissipativa proporcional a velocidade. Para a letra a ) temos que escrever a equação que relaciona todas estas quantidades, e iremos resolver esta equação para v ( t ) na alternativa b ) . Para a alternativa c ) iremos utilizar a expressão que obtemos em b ) para encontrar s ( t ) e fazer o limite para t muito grande na última alternativa! Vamos lá!

Passo 2

A primeira alternativa consiste em aplicar a segunda lei de Newton, temos que

F = m v ' ( t )

Mas a única força atuando sobre nossa partícula é F = - k v ( t ) , portanto, temos

m v ' t = - k v ( t )

Dividindo tudo por m e por v ( t ) , temos que

v ' t v ( t ) = - k m

A alternativa a ) é isso! Temos a relação que precisávamos! Vamos para próxima!

Passo 3

Como o enunciado nos indica que d d t ln ⁡ ( v ( t ) ) = v ' t v ( t ) , nós temos

d d t ln ⁡ v t = - k m

Multiplicando os dois lados por d t , podemos escrever

d ln ⁡ ( v ( t ) ) =   - k m d t

O que pode ser integrado em ambos os lados considerando limites de integração adequados, temos

∫ l n ⁡ ( v 0 ) ln ⁡ ( v ( t ) ) d ln ⁡ ( v ( t ) ) = - k m ∫ 0 t d t

Vamos resolver estas integrais!

Passo 4

Como a integral de toda infinitesimal da forma

∫ a b d x = b - a

temos que

ln ⁡ v ( t ) - ln ⁡ v 0 = - k m t

Utilizando a propriedade do logaritmo ln ⁡ A - ln ⁡ B = l n ⁡ ( A / B ) , temos

ln ⁡ ( v ( t ) / v 0 ) = - k m t

Por último, podemos eliminar a função logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados para obter

v t v 0 = e - k m t → v t = v 0 e - k m t

Essa é a resposta de nossa alternativa b ) . Vamos para a c ) .

Passo 5

Para encontrarmos s ( t ) , precisamos primeiro lembrar que

v t = d s ( t ) d t

Multiplicando os dois lados por d t , obtemos

d s t = v ( t ) d t

O que pode ser integrado, com os limites adequados, para obter

s t - s 0 = ∫ 0 t v ( t ) d t

O enunciado nos dá que s 0 = 0 , e nós encontramos v ( t ) na alternativa anterior, vamos calcular a integral!

Passo 6

Temos usando o v ( t ) que obtemos

s t = v 0 ∫ 0 t e - k m t d t

Fazendo uma mudança de variável da forma u = - k m t e d u = - k m d t , temos que

s t = - m v 0 k ∫ u 0 u t e u d u

Como a integral da exponencial é própria exponencial, obtemos que

s t = - m v 0 k e u ​ 0 - k m t

Avaliando os limites de integração, temos, finalmente

s t = m v 0 k 1 - e - k m t

Vamos finalizar agora fazendo o limite!!

Passo 7

Por último temos que calcular

d = lim t → ∞ ⁡ s ( t )

Substituindo o que acabamos de encontrar no passo anterior, temos

d = m v 0 k lim t → ∞ ⁡ 1 - e - k m t

Como o limite da exponencial negativa tende a 0 quando t → ∞ , temos que

d = m v 0 k

Finish!!! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a ) v ' t v ( t ) = - k m

b )   v t = v 0 e - k m t  

c )   s t = m v 0 k 1 - e - k m t

d )   d = m v 0 k

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