Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Questão 1. Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponda:

c) ∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a integral de 1 4 - x e verificar se ela converge ou não.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Para se obter a convergência de uma integral, temos que obter a integral da função que estamos observando e verificar se nos limites de - ∞ a + ∞ a integral resulta em um valor numérico. Se sim, a integral converge.

Mas se resultar em ou - ∞ , a integral diverge!

Bora ver esse caso? 👀

Passo 2

A função é 1 4 - x e obtendo essa integral pelo método de substituição fazendo u = 4 - x , temos

∫ 1 4 - x d x → d u = - 1 d x → ∫ - 1 u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, essa integral é dada por

∫ - 1 u d u = - ln ⁡ u

Assim, voltando u para 4 - x ...

∫ 1 4 - x d x = - ln ⁡ 4 - x + C

Perceba que em x = 4 , há uma descontinuidade em 1 4 - x portanto para aplicar os limites de integração, vamos separar a integral em duas. A primeira entre - ∞ a 4 e a segunda entre 4 e + ∞

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = ∫ - ∞ 4 1 4 - x d x + ∫ 4 + ∞ 1 4 - x d x

Aplicando os limites de integração, temos

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = - ln ⁡ 4 - 4 - - ln ⁡ 4 - - ∞ + - ln ⁡ 4 - ∞ - - ln ⁡ 4 - 4

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = - ln ⁡ 0 - - ln ⁡ ∞ + - ln ⁡ - ∞ - - ln ⁡ 0

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = - ln ⁡ 0 + ln ⁡ ∞ - ln ⁡ - ∞ + ln ⁡ 0

O termo ln ⁡ 0 é indefinido, mas é um valor que tende a - ∞

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x = - ∞

E os termos ln ⁡ ∞ e ln ⁡ - ∞ tendem a

lim x → ± ∞ ⁡ ln ⁡ x = ∞

Logo...

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = ∞ + ∞ - ∞ - ∞

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = D i v e r g e .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ - ∞ + ∞ 1 4 - x d x = D i v e r g e .

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x