Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Questão 2

Calcule as integrais abaixo.

b)

∫ s e n x cos ⁡ x + 9 d x

Passo 1

Bom galera, questão de integral... pode vir que é sucesso!

Nesse caso temos duas funções, e se repararmos bem, uma é a derivada da outra, afinal a derivada do c o s ⁡ ( x ) é o - s e n ( x ) .

O que é um forte indicativo de que poderemos usar a substituição simples!

Parece uma boa escolher u = cos ⁡ x + 9 , pois assim pegamos todo o termo que está dentro da raíz, o que talvez ajudará a integrar depois, pois integrar uma soma dentro da raíz é complicado, mas integrar uma raíz de um termo só é mais fácil!

Passo 2

Fazendo a substituição teremos:

u = cos ⁡ x + 9

De forma que d u é a derivada disso, portanto:

d u = - s e n x d x

E podemos portanto falar que:

d x = - d u s e n x

Passo 3

Substituindo na integral, teremos:

∫ s e n x cos ⁡ x + 9 d x = ∫ s e n x u - 1 s e n x d u

= ∫ - 1 u d u

Essa integral sabemos resolver, afinal:

= - ∫ 1 u 1 2 d u = - ∫ u - 1 2 d u

Que é nada mais nada menos que uma integral polinomial... O resultado será:

= - 1 - 1 2 u 1 2

= 2 u 1 2 = 2 u

Agora para finalizar é só desfazer a substituição e não esquecer de somar a constante:

= 2 cos ⁡ x + 9 + C

Resposta

∫ s e n x cos ⁡ x + 9 d x = 2 cos ⁡ x + 9 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x