Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Questão 1: Calcule as integrais indefinidas abaixo:

d)

∫ t 3 1 - t 2 d t

Passo 1

Trabalhando um pouquinho com essa integral...

∫ t 3 1 - t 2 d t

∫ t 2 1 - t 2   t d t

Bem, queremos calcular uma integral que tem uma raiz e a derivada do cara de dentro é t e temos ele lá fora. Ora, podemos fazer uma integração por uma mudança de variável simples:

1 - t 2 = a  

Bora, lá? :D

Passo 2

Calculando o d a ...

d a = - 2 t d t             o u         t d t = - d a 2

Então a integral está ficando assim oh:

∫ t 2 1 - t 2   t d t = ∫ t 2 a   - d a 2

Repare que ainda temos trabalho a fazer na substituição, pois devemos trocar aquele t 2 . Ora, da própria expressão...

1 - t 2 = a       →           t 2 = 1 - a

Então...

∫ t 2 1 - t 2   t d t = ∫ 1 - a a   - d a 2

Passo 3

Para calcular essa integral, vamos fazer...

∫ 1 - a a   - d a 2 = - 1 2 ∫ 1 - a a 1 2   d a =

- 1 2 ∫ a 1 2 - a 3 2   d a

Essa integral é direta...

- 1 2 ∫ a 1 2 - a 3 2   d a = - 1 2 a 3 2 3 2 - a 5 2 5 2 + C =

- 1 2 2 3 a 3 2 - 2 5 a 5 2 + C =

Como por propriedade de potência a 3 2 = a a e a 5 2 = a 2 a ...

- 1 2 2 3 a a - 2 5 a 2 a + C =

- a a 1 3 - a 5 + C

Voltando para a variável original já que a = 1 - t 2 ...

∫ t 2 1 - t 2   t d t = - 1 - t 2 1 - t 2 1 3 - 1 - t 2 5 + C

Resposta

- 1 - t 2 1 - t 2 1 3 - 1 - t 2 5 + C

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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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