Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Ver Teoria
Exercício 596123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595597598599600601602603604605

Enunciado

2. Regra de Substituição

t) ∫ 1 + 2 x 1 + x 2 d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos resolver a integral   ∫ 1 + 2 x 1 + x 2 d x .

Como temos uma função, dentro da integral, que não dá pra ser integrada diretamente, precisamos usar alguma técnica de integração.

Como temos função composta, usamos o método da substituição.

Passo 2

Como temos uma soma, podemos dividir a integral em duas:

∫ 1 + 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 d x + ∫ 2 x 1 + x 2 d x

A primeira integral é tabelada, né? Então:

∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x

A segunda integral vamos usar substituição simples. Repara que o que está em cima, na fração é exatamente a derivada do que está embaixo, então:

u = 1 + x 2

d u = 2 x   d x

A integral fica:

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 u   d u

Resolvendo:

= ln ⁡ u

Voltando pra x :

= ln ⁡ 1 + x 2

Repara que o que está dentro do ln sempreee vai ser positivo, então podemos reescrever como:

= ln ⁡ 1 + x 2

Agora só precisamos somar as duas respostas:

∫ 1 + 2 x 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + ln ⁡ 1 + x 2

Como é uma integral indefinida, precisamos adicionar a constante, no final:

= arctan ⁡ x + ln ⁡ 1 + x 2 + C

Resposta

arctan ⁡ x + ln ⁡ 1 + x 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x