Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

1.2 Resolva ∫ d x 3 + s e n 2 x

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ d x 3 + s e n 2 x .

Quando temos seno ou cosseno embaixo assim temos uma identidade trigonométrica que quase sempre resolve:

sen ⁡ x = 2 tan ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

E depois disso a gente cai numa substituição simples.

Passo 2

Como aqui temos sen ⁡ 2 x , então teremos:

sen ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x

A integral fica:

  ∫ d x 3 + s e n 2 x =   ∫ d x 3 + 2 tan ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x

= ∫ d x 3 ( 1 + tan 2 ⁡ x ) 1 + tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x 1 + tan 2 ⁡ x

= ∫ d x 3 tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x + 3 1 + tan 2 ⁡ x

= ∫ 1 + tan 2 ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x + 3 d x

Passo 3

Agora vamos usar substituição simples pra resolver:

u = tan ⁡ x

d u = sec 2 ⁡ x d x → d u = 1 + tan 2 ⁡ x d x

E a integral fica:

∫ 1 + tan 2 ⁡ x 3 tan 2 ⁡ x + 2 tan ⁡ x + 3 d x = ∫ d u 3 u 2 + 2 u + 3

Passo 4

Como apareceu esse polinômio do segundo grau embaixo e não tem polinômio do primeiro grau em cima, então vamos fazer as manipulações algébricas pra poder usar:

∫ d t t 2 + 1 = arctan ⁡ t

Vamos colocar o 3 em evidência:

∫ d u 3 u 2 + 2 u + 3 = 1 3 ∫ d u u 2 + 2 3 u + 1

Completando quadrados:

= 1 3 ∫ d u u 2 + 2 3 u + 1 9 + 8 9 = 1 3 ∫ d u u 2 + 2 3 u + 1 9 + 8 9

= 1 3 ∫ d u u + 1 3 2 + 8 9

Colocando o 8/9 em evidência porque queremos fazer aparecer um “1”:

= 1 3 ∫ d u 8 9 u + 1 3 2 8 9 + 1

= 3 8 ∫ d u 9 u + 1 3 2 8 + 1

Passando o 9 e o 8 pra dentro do quadrado:

= 3 8 ∫ d u 3 u + 1 2 2 2 + 1

Passo 5

Agora precisamos fazer mais uma substituição simples pra deixar com carinha de 1 / ( t 2 + 1 ) :

t = 3 u + 1 2 2

d t = 3 2 2 d u → d u = 2 2 3 d t

Ficamos com:

3 8 ∫ d u 3 u + 1 2 2 2 + 1 = 3 8 ∫ 2 2 3 d t t 2 + 1

= 1 2 2 ∫ d t t 2 + 1

= 1 2 2 arctan ⁡ t

Como t = 3 u + 1 2 2 , então:

1 2 2 arctan ⁡ t = 1 2 2 arctan ⁡ 3 u + 1 2 2

E como u = tan ⁡ x , então:

1 2 2 arctan ⁡ 3 u + 1 2 2 = 1 2 2 arctan ⁡ 3 tan ⁡ x + 1 2 2

Finalmente chegamos na nossa resposta. Só falta adicionar a constante no final porque é uma integral indefinida.

∫ d x 3 + s e n 2 x = 1 2 2 arctan ⁡ 3 tan ⁡ x + 1 2 2 + C

Resposta

1 2 2 arctan ⁡ 3 tan ⁡ x + 1 2 2 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x