Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as integrais indefinidas abaixo:

∫ x 3 4 - x 2 d x

Passo 1

Não tem mistério! O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante C , marujo)!

A princípio, a integral não é óbvia e não pode ser calculada sem usarmos um método de integração.

Nesse caso, podemos começar tentando usar o método da substituição.

Primeira coisa que você precisa ver é que

x 3 d x = x 2 ⋅ x d x

E além disso temos x 2 no denominador tbm. Temos que a derivada de x 2 é 2 x   d x .

Depois de usarmos o método da substituição, pode ser que tenhamos que usar outros métodos.

Vamos reescrever essa integral assim

∫ x 3 4 - x 2 d x = ∫ x 2 4 - x 2 . x d x

Passo 2

Ainda assim está meio complicado essa parada, vamos chamar tudo dentro da raiz de t

4 - x 2 = t

Assim podemos escrever o x 2 = 4 - t e temos algo parecido com a derivada de t ali. Vamos fazer a substituição como fazemos normalmente

t = 4 - x 2 → d t = - 2 x   d x → x   d x = - 1 2 d t

Vamos aplicar:

∫ 4 - t t ⋅ - 1 2 d t = - 1 2 ∫ 4 - t ⋅ t - 1 2 d t

Sacou a ideia toda agora?

No fim das contas, temos que resolver as integrais:

∫ x 3 4 - x 2 d x = - 2 ∫ t - 1 2   d t + 1 2 ∫ t 1 2   d t = I 1 + I 2

Passo 3

As integrais que temos que resolver são de polinômios. Você já deve estar craque nisso. ; ) Vamos lá:

I 1 = - 2 ∫ t - 1 2   d t

I 2 = 1 2 ∫ t 1 2   d t

Primeiro I 1 :

I 1 = - 2 ∫ t - 1 2   d t = - 4 t 1 2 + C 1

Agora I 2 :

I 2 = 1 2 ∫ t 1 2   d t = 1 3 t 3 2 + C 2

Somando tudo, agora podemos voltar pra nossa variável original, fazendo t = 4 - x 2 , e agrupar as constantes C 1   e   C 2 em uma só constante C :

∫ x 3 4 - x 2 d x = - 4 4 - x 2 + 1 3 4 - x 2 3 + C

Resposta

∫ x 3 4 - x 2 d x = - 4 4 - x 2 + 1 3 4 - x 2 3 + C

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x