Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as integrais seguintes:

d)

∫ x + 1 x 2 - 2 x + 3   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ x + 1 x 2 - 2 x + 3   d x

Nesse caso, não dá pra gente resolver usando frações parciais, porque as raízes do denominador são complexas. Então, só nos resta tentar manipular um pouquinho essa equação e fazer algumas substituições para encontrar nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar separando nossa integral em duas:

∫ x + 1 x 2 - 2 x + 3   d x = ∫ x x 2 - 2 x + 3   d x + ∫ 1 x 2 - 2 x + 3   d x

Agora vamos tentar resolver cada uma separadamente pra ficar mais fácil.

Dá segunda integral, temos:

∫ 1 x 2 - 2 x + 3   d x

Podemos escrever o nosso denominador na forma:

x - 1 2 + 2 = x 2 - 2 x + 3

Assim, vamos chamar u = x - 1 . Logo, d u = d x . E temos:

∫ 1 x - 1 2 + 2   d x = ∫ 1 2 + u 2   d u

Ainda não tá muito fácil de resolver, vamos tentar colocar 2 em evidência no denominador:

∫ 1 2 + u 2   d u = ∫ 1 2 1 + u 2 2   d u

Colocando a constante pra fora, podemos reescrever como:

1 2 ∫ 1 1 + u 2 2   d u

Calma que vai melhorar rs. Vamos fazer outra substituição agora, chamando:

t = u 2

d t = 1 2 d u

Substituindo na integral:

1 2 ∫ 1 1 + t 2 2   d t

2 2 ∫ 1 1 + t 2   d t

E aí nós temos o resultado tabelado:

2 2 ∫ 1 1 + t 2   d t = 2 2 arctan ⁡ ( t ) + C

Mas a gente definiu t = u 2 , então:

2 2 arctan ⁡ u 2 + C  

Mas u não é nossa variável original, então precisamos olhar pra nossa primeira substituição u = x - 1 . E temos:

2 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C

Passo 3

Agora só falta a gente resolver:

∫ x x 2 - 2 x + 3   d x

Vamos fazer da mesma forma u = x - 1 , daí nós tiramos:

x = u + 1

d u = d x

Substituindo, temos:

∫ u + 1 2 + u 2   d u

Dá pra gente separar essa soma também:

∫ u + 1 2 + u 2   d u = ∫ u 2 + u 2   d u + ∫ 1 2 + u 2   d u

E aí, olha só, a segunda integral é igual a que nós calculamos lá em cima, então o resultado vai ser o mesmo: 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C .

Pra primeira integral, precisamos fazer outra substituição, mas dessa vez vai ser mais simples. Vamos fazer:

v = 2 + u 2

d v = 2 u   d u → d v 2 = u   d u

Substituindo nós temos:

∫ u 2 + u 2   d u = ∫ 1 v d v 2

Colocando a constante pra fora e resolvendo:

1 2 ∫ 1 v d v = 1 2 ln ⁡ v + C

Como v = 2 + u 2 , ficamos com:

1 2 ln ⁡ 2 + u 2 + C

Voltando pra nossa variável original, x = u + 1 :

1 2 ln ⁡ 2 + ( x - 1 ) 2 + C

Ou

1 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 3 + C

Somando os três resultados, temos:

∫ x + 1 x 2 - 2 x + 3   d x = 1 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 3 + 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 + 2 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C

= 1 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 3 + 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 - 2 x + 3 + 2 arctan ⁡ x - 1 2 + C

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